Номер 42.38, страница 322 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.38. Вычислите:

1) ctg $\alpha$, если $\sin \alpha = -\frac{5}{\sqrt{34}}$, $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$;

2) $\sin \alpha$, если $\text{tg } \alpha = 3$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.

1) ctg α, если sin α = -5/√34, 3π/2 < α < 2π;

Угол $\alpha$ находится в интервале $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$, что соответствует IV четверти. В этой четверти косинус положителен ($\cos\alpha > 0$), а синус отрицателен ($\sin\alpha < 0$). Котангенс, как отношение косинуса к синусу, в IV четверти отрицателен ($\ctg\alpha < 0$).

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим синус и котангенс: $1 + \ctg^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$

Подставим известное значение $\sin\alpha$: $\sin^2\alpha = \left(-\frac{5}{\sqrt{34}}\right)^2 = \frac{25}{34}$

Теперь найдем квадрат котангенса: $\ctg^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} - 1 = \frac{1}{25/34} - 1 = \frac{34}{25} - 1 = \frac{34 - 25}{25} = \frac{9}{25}$

Отсюда $\ctg\alpha = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}$.

Так как угол $\alpha$ принадлежит IV четверти, значение котангенса должно быть отрицательным. Следовательно, выбираем знак минус. $\ctg\alpha = -\frac{3}{5}$

Ответ: $-\frac{3}{5}$

2) sin α, если tg α = 3, π < α < 3π/2.

Угол $\alpha$ находится в интервале $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, что соответствует III четверти. В этой четверти и синус, и косинус отрицательны ($\sin\alpha < 0$ и $\cos\alpha < 0$). Тангенс, как их отношение, положителен, что соответствует условию.

Воспользуемся тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и синус. Для этого сначала найдем котангенс: $\ctg\alpha = \frac{1}{\tg\alpha} = \frac{1}{3}$

Теперь используем тождество $1 + \ctg^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$: $1 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{\sin^2\alpha}$

$\frac{1}{\sin^2\alpha} = 1 + \frac{1}{9} = \frac{9}{9} + \frac{1}{9} = \frac{10}{9}$

Отсюда находим квадрат синуса: $\sin^2\alpha = \frac{9}{10}$

Извлекаем корень: $\sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{9}{10}} = \pm\frac{3}{\sqrt{10}}$.

Поскольку угол $\alpha$ находится в III четверти, его синус отрицателен. Поэтому выбираем знак минус. $\sin\alpha = -\frac{3}{\sqrt{10}}$

Ответ: $-\frac{3}{\sqrt{10}}$