Номер 42.18, страница 319 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.18. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt[4]{3x - 5};$

2) $y = \sqrt[6]{-x};$

3) $y = \sqrt[5]{x - 4};$

4) $y = \sqrt[8]{6x - x^2}.$

1) Область определения функции $y = \sqrt[4]{3x - 5}$ находится из условия, что выражение под корнем четной степени (в данном случае 4-й) должно быть неотрицательным.
Составим и решим неравенство:
$3x - 5 \ge 0$
Перенесем 5 в правую часть:
$3x \ge 5$
Разделим обе части на 3:
$x \ge \frac{5}{3}$
Таким образом, область определения функции — это числовой промежуток $[\frac{5}{3}; +\infty)$.
Ответ: $[\frac{5}{3}; +\infty)$.

2) Функция $y = \sqrt[6]{-x}$ содержит корень четной степени (6-й степени). Следовательно, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Составим и решим неравенство:
$-x \ge 0$
Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le 0$
Область определения функции — это числовой промежуток $(-\infty; 0]$.
Ответ: $(-\infty; 0]$.

3) Функция $y = \sqrt[5]{x - 4}$ содержит корень нечетной степени (5-й степени). Корень нечетной степени определен для любого действительного значения подкоренного выражения, так как можно извлечь корень нечетной степени из отрицательного числа.
Поэтому никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается.
Область определения функции — множество всех действительных чисел, $\mathbb{R}$, что в виде промежутка записывается как $(-\infty; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

4) Функция $y = \sqrt[8]{6x - x^2}$ содержит корень четной степени (8-й степени). Значит, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Составим и решим квадратное неравенство:
$6x - x^2 \ge 0$
Для решения найдем нули функции $f(x) = 6x - x^2$, решив уравнение:
$6x - x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(6 - x) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $6 - x = 0 \Rightarrow x_2 = 6$.
Графиком функции $f(x) = 6x - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицателен: -1). Такая парабола принимает неотрицательные значения ($f(x) \ge 0$) на отрезке между своими корнями.
Следовательно, решением неравенства является промежуток $[0; 6]$.
Ответ: $[0; 6]$.