Номер 42.11, страница 318 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.11. Найдите функцию, обратную к данной:

1) $y = 3x + 9;$

2) $y = \frac{4}{x-6};$

3) $y = \sqrt[5]{1-2x};$

4) $y = 2 - \sqrt{x-4};$

5) $y = x^2, x \in [1; +\infty);$

6) $y = x^6, x \in (-\infty; -2].$

1) Для нахождения обратной функции к $y = 3x + 9$ необходимо выразить $x$ через $y$, а затем поменять переменные $x$ и $y$ местами.
Выразим $x$ из уравнения:
$3x = y - 9$
$x = \frac{y - 9}{3}$
$x = \frac{1}{3}y - 3$
Теперь меняем $x$ и $y$:
$y = \frac{1}{3}x - 3$
Это и есть обратная функция. Область определения и область значений исходной и обратной функций — все действительные числа.
Ответ: $y = \frac{1}{3}x - 3$

2) Дана функция $y = \frac{4}{x - 6}$.
Выразим $x$ через $y$:
$y(x - 6) = 4$
При условии, что $y \neq 0$, делим на $y$:
$x - 6 = \frac{4}{y}$
$x = \frac{4}{y} + 6$
Меняем $x$ и $y$ местами:
$y = \frac{4}{x} + 6$
Область определения исходной функции: $x \neq 6$. Область значений: $y \neq 0$. Для обратной функции область определения $x \neq 0$, а область значений $y \neq 6$, что соответствует полученной формуле.
Ответ: $y = \frac{4}{x} + 6$

3) Дана функция $y = \sqrt[5]{1 - 2x}$.
Для нахождения обратной функции выразим $x$ через $y$. Возведем обе части уравнения в пятую степень:
$y^5 = 1 - 2x$
$2x = 1 - y^5$
$x = \frac{1 - y^5}{2}$
Меняем $x$ и $y$ местами:
$y = \frac{1 - x^5}{2}$
Поскольку корень нечетной степени, область определения и область значений исходной функции — все действительные числа. Следовательно, у обратной функции также нет ограничений.
Ответ: $y = \frac{1 - x^5}{2}$

4) Дана функция $y = 2 - \sqrt{x - 4}$.
Сначала определим область определения и область значений исходной функции.
Область определения $D(y)$: подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x - 4 \ge 0 \Rightarrow x \ge 4$. Итак, $D(y) = [4; +\infty)$.
Область значений $E(y)$: так как $\sqrt{x-4} \ge 0$, то $-\sqrt{x-4} \le 0$, и $y = 2 - \sqrt{x-4} \le 2$. Итак, $E(y) = (-\infty; 2]$.
Теперь выразим $x$ через $y$:
$\sqrt{x - 4} = 2 - y$
Возведем обе части в квадрат. Так как левая часть неотрицательна, то и правая должна быть неотрицательна: $2 - y \ge 0 \Rightarrow y \le 2$, что совпадает с найденной областью значений.
$x - 4 = (2 - y)^2$
$x = (2 - y)^2 + 4$
Меняем $x$ и $y$ местами:
$y = (2 - x)^2 + 4$
Область определения обратной функции есть область значений исходной, то есть $x \in (-\infty; 2]$.
Ответ: $y = (2 - x)^2 + 4$, при $x \le 2$

5) Дана функция $y = x^2$ на промежутке $x \in [1; +\infty)$.
На данном промежутке функция монотонно возрастает, значит, обратная функция существует.
Найдем область значений $E(y)$ исходной функции: если $x \ge 1$, то $y = x^2 \ge 1^2 = 1$. Таким образом, $E(y) = [1; +\infty)$.
Выразим $x$ через $y$:
$x^2 = y \Rightarrow x = \pm\sqrt{y}$
Поскольку по условию $x \in [1; +\infty)$, то есть $x$ положителен, выбираем знак плюс: $x = \sqrt{y}$.
Меняем $x$ и $y$ местами:
$y = \sqrt{x}$
Областью определения обратной функции является область значений исходной, то есть $x \in [1; +\infty)$.
Ответ: $y = \sqrt{x}$, при $x \ge 1$

6) Дана функция $y = x^6$ на промежутке $x \in (-\infty; -2]$.
На данном промежутке функция монотонно убывает, значит, обратная функция существует.
Найдем область значений $E(y)$ исходной функции: если $x \le -2$, то $y = x^6 \ge (-2)^6 = 64$. Таким образом, $E(y) = [64; +\infty)$.
Выразим $x$ через $y$:
$x^6 = y \Rightarrow x = \pm\sqrt[6]{y}$
Поскольку по условию $x \in (-\infty; -2]$, то есть $x$ отрицателен, выбираем знак минус: $x = -\sqrt[6]{y}$.
Меняем $x$ и $y$ местами:
$y = -\sqrt[6]{x}$
Областью определения обратной функции является область значений исходной, то есть $x \in [64; +\infty)$.
Ответ: $y = -\sqrt[6]{x}$, при $x \ge 64$