Номер 42.12, страница 318 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.12. Верно ли утверждение:

1) если каждая прямая, параллельная оси абсцисс, пересекает график функции не более чем в одной точке, то данная функция обратима;

2) если функция является нечётной, то она обратима;

3) если функция является чётной, то она обратима;

4) если обратимая функция является нечётной, то обратная к ней функция также нечётная;

5) функции $y = x^3$ и $y = \sqrt[3]{x}$ взаимно обратные;

6) функции $y = x^4$ и $y = \sqrt[4]{x}$ взаимно обратные?

1) если каждая прямая, параллельная оси абсцисс, пересекает график функции не более чем в одной точке, то данная функция обратима;

Это утверждение является определением обратимой (или, точнее, инъективной) функции, известным как "тест горизонтальной линии". Функция имеет обратную тогда и только тогда, когда она инъективна, то есть каждому значению функции соответствует единственное значение аргумента. Если любая горизонтальная прямая $y=c$ пересекает график функции $y=f(x)$ не более одного раза, это означает, что для любого числа $c$ из области значений уравнение $f(x)=c$ имеет не более одного решения. Это и есть условие инъективности, а значит, и обратимости функции.

Ответ: Да, верно.

2) если функция является нечётной, то она обратима;

Нечётность функции означает, что её график симметричен относительно начала координат и выполняется условие $f(-x) = -f(x)$. Однако это свойство не гарантирует обратимость. Например, функция $y = x^3 - x$ является нечётной, так как $(-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3-x)$. Но она не является обратимой, поскольку разным значениям аргумента может соответствовать одно и то же значение функции. Например, $f(1) = 1-1=0$, $f(0)=0$ и $f(-1)=-1 - (-1) = 0$. Так как $f(1)=f(0)=f(-1)=0$, функция не является инъективной и, следовательно, не обратима.

Ответ: Нет, неверно.

3) если функция является чётной, то она обратима;

Чётность функции означает, что её график симметричен относительно оси ординат и выполняется условие $f(-x) = f(x)$. Если область определения функции симметрична относительно нуля и содержит хотя бы одну ненулевую точку $x_0$, то $f(-x_0) = f(x_0)$. Это означает, что двум разным значениям аргумента ($x_0$ и $-x_0$) соответствует одно и то же значение функции. Следовательно, функция не является инъективной и не может быть обратимой. Например, для функции $y=x^2$ имеем $f(2)=4$ и $f(-2)=4$.

Ответ: Нет, неверно.

4) если обратимая функция является нечётной, то обратная к ней функция также нечётная;

Пусть $y=f(x)$ — обратимая нечётная функция. Пусть $g(x)$ — функция, обратная к $f(x)$. Это значит, что $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$. Нам нужно проверить, выполняется ли для $g(x)$ свойство нечётности, то есть $g(-x) = -g(x)$.
Пусть $y = g(x)$, тогда $x = f(y)$.
Рассмотрим $g(-x)$. Подставим вместо $x$ выражение $f(y)$: $g(-x) = g(-f(y))$.
Так как функция $f$ нечётная, $ -f(y) = f(-y) $.
Тогда $g(-x) = g(f(-y))$.
По определению обратной функции, $g(f(-y)) = -y$.
Итак, мы получили, что $g(-x) = -y$. А поскольку $y=g(x)$, то $g(-x) = -g(x)$.
Это доказывает, что обратная функция $g(x)$ также является нечётной.

Ответ: Да, верно.

5) функции $y = x^3$ и $y = \sqrt[3]{x}$ взаимно обратные;

Чтобы проверить, являются ли функции $f(x) = x^3$ и $g(x) = \sqrt[3]{x}$ взаимно обратными, нужно проверить выполнение двух условий: $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$ для всех $x$ из соответствующих областей определения.
Обе функции определены для всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$).
1. $f(g(x)) = f(\sqrt[3]{x}) = (\sqrt[3]{x})^3 = x$.
2. $g(f(x)) = g(x^3) = \sqrt[3]{x^3} = x$.
Оба условия выполняются для всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, функции являются взаимно обратными.

Ответ: Да, верно.

6) функции $y = x^4$ и $y = \sqrt[4]{x}$ взаимно обратные?

Функция $f(x) = x^4$ не является обратимой на всей своей области определения ($x \in \mathbb{R}$), так как она является чётной ($f(-x) = (-x)^4 = x^4 = f(x)$) и, следовательно, не инъективна. Например, $f(2) = 16$ и $f(-2) = 16$. Функция, не являющаяся инъективной, не имеет обратной.
Кроме того, если мы проверим композицию функций $g(f(x))$, где $g(x) = \sqrt[4]{x}$ и $f(x)=x^4$:
$g(f(x)) = \sqrt[4]{x^4} = |x|$.
Так как $|x| \neq x$ для всех отрицательных $x$, то $g(f(x)) \neq x$. Условие взаимной обратности не выполняется. Функции не являются взаимно обратными (если не ограничивать область определения функции $y=x^4$ до $x \geq 0$).

Ответ: Нет, неверно.