Номер 42.3, страница 316 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.3. Найдите область определения и постройте график функции:

1) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$;

2) $f(x) = \frac{x^2 - 6x + 9}{3 - x}$;

3) $f(x) = \frac{4x - 20}{x^2 - 5x}$;

4) $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 1}$.

1) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$

Сначала найдем область определения функции. Функция представляет собой дробь, поэтому ее знаменатель не должен равняться нулю. $x + 2 \neq 0$, откуда $x \neq -2$. Таким образом, область определения функции $D(f)$ — это все действительные числа, кроме $-2$. В виде интервала: $(-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Далее упростим выражение для функции. Числитель $x^2 - 4$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$. Подставим это в исходную функцию: $f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x+2}$. При условии $x \neq -2$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x+2)$. В результате получаем: $f(x) = x - 2$.

Это означает, что график нашей функции совпадает с графиком линейной функции $y = x - 2$ во всех точках, кроме точки с абсциссой $x = -2$. В этой точке на графике будет разрыв, который изображается как "выколотая" точка. Чтобы найти координаты этой точки, подставим $x = -2$ в упрощенное выражение $y = x - 2$: $y = -2 - 2 = -4$. Следовательно, выколотая точка имеет координаты $(-2; -4)$. График функции — это прямая, проходящая, например, через точки $(0; -2)$ и $(2; 0)$, с выколотой точкой $(-2; -4)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$. График функции – прямая $y = x - 2$ с выколотой точкой $(-2; -4)$.

2) $f(x) = \frac{x^2 - 6x + 9}{3 - x}$

Найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю: $3 - x \neq 0$, откуда $x \neq 3$. Область определения $D(f)$: $(-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

Упростим выражение. Числитель $x^2 - 6x + 9$ является полным квадратом разности: $(x - 3)^2$. Знаменатель можно представить как $-(x - 3)$. $f(x) = \frac{(x-3)^2}{-(x-3)}$. При условии $x \neq 3$ сокращаем дробь на $(x - 3)$: $f(x) = \frac{x-3}{-1} = -(x-3) = -x + 3$.

График функции совпадает с графиком прямой $y = -x + 3$ за исключением точки, где $x=3$. Найдем координаты выколотой точки, подставив $x = 3$ в упрощенное уравнение: $y = -3 + 3 = 0$. Выколотая точка имеет координаты $(3; 0)$. Для построения прямой $y = -x + 3$ найдем две точки: если $x=0$, то $y=3$ (точка $(0; 3)$); если $y=0$, то $x=3$ (точка $(3; 0)$). График — это прямая, проходящая через точку $(0; 3)$ и имеющая выколотую точку в месте пересечения с осью абсцисс $(3; 0)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$. График функции – прямая $y = -x + 3$ с выколотой точкой $(3; 0)$.

3) $f(x) = \frac{4x - 20}{x^2 - 5x}$

Найдем область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - 5x \neq 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 5) \neq 0$. Произведение не равно нулю, если каждый из множителей не равен нулю, то есть $x \neq 0$ и $x \neq 5$. Область определения $D(f)$: $(-\infty; 0) \cup (0; 5) \cup (5; +\infty)$.

Упростим выражение, вынеся общие множители в числителе и знаменателе: $f(x) = \frac{4(x - 5)}{x(x - 5)}$. При $x \neq 5$ (и $x \neq 0$) сокращаем дробь на $(x - 5)$: $f(x) = \frac{4}{x}$.

Графиком функции является гипербола $y = \frac{4}{x}$. Из-за ограничений в области определения на графике будут разрывы. При $x = 0$ функция не определена, что для гиперболы $y=\frac{4}{x}$ означает наличие вертикальной асимптоты $x=0$. При $x = 5$ на графике будет выколотая точка. Найдем ее координаты, подставив $x=5$ в упрощенное выражение: $y = \frac{4}{5} = 0.8$. Выколотая точка — $(5; 0.8)$. График — это гипербола $y = \frac{4}{x}$ с ветвями в I и III координатных четвертях и с выколотой точкой $(5; 0.8)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 5) \cup (5; +\infty)$. График функции – гипербола $y = \frac{4}{x}$ с выколотой точкой $(5; 0.8)$.

4) $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 1}$

Найдем область определения. Знаменатель не должен равняться нулю: $x^2 - 1 \neq 0$. $(x - 1)(x + 1) \neq 0$. Отсюда $x \neq 1$ и $x \neq -1$. Область определения $D(f)$: $(-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

Упростим выражение. Так как числитель и знаменатель одинаковы и не равны нулю в области определения, их частное равно 1: $f(x) = 1$ при $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Графиком функции является горизонтальная прямая $y = 1$. Из-за ограничений области определения на этой прямой будут две выколотые точки, соответствующие значениям $x = -1$ и $x = 1$. Координаты этих точек: При $x = -1$, $y = 1 \Rightarrow (-1; 1)$. При $x = 1$, $y = 1 \Rightarrow (1; 1)$. График — это горизонтальная прямая $y=1$ с двумя выколотыми точками: $(-1; 1)$ и $(1; 1)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$. График функции – прямая $y = 1$ с выколотыми точками $(-1; 1)$ и $(1; 1)$.