Номер 42.1, страница 316 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.1. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \sqrt{x-5}$;

2) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{4-x}}$;

3) $f(x) = \frac{9}{x^2 - 5}$;

4) $f(x) = \frac{14}{x^2 + 4}$;

5) $f(x) = \frac{7x + 13}{x^2 - 7x}$;

6) $f(x) = \frac{x}{|x| - 3}$;

7) $f(x) = \frac{9}{|x| + 5}$;

8) $f(x) = \frac{13}{|x| + x^2}$;

9) $f(x) = \sqrt{x+5} + \sqrt{3-x}$;

10) $f(x) = \sqrt{x-1} + \frac{x+3}{x-10}$;

11) $f(x) = \sqrt{x-2} + \sqrt{2-x}$;

12) $f(x) = \sqrt{x-9} + \frac{6}{\sqrt{8-x}}$;

13) $f(x) = \sqrt{x+2} + \frac{x-7}{x^2-4}$;

14) $f(x) = \frac{\sqrt{x-6}}{\sqrt{x+3}} + \frac{5x-4}{x^2-8x+7}$;

15) $f(x) = \sqrt{-x^2-8x+9}$;

16) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+6x-7}} + \frac{1}{x^2-2x}$;

17) $f(x) = \sqrt{x-6} + \frac{2}{\sqrt{x^2-4x-12}}$;

18) $f(x) = \frac{6}{\sqrt{15x-3x^2}} + \frac{x-5}{x^2-9}$;

1) $f(x) = \sqrt{x-5}$

Область определения функции, содержащей квадратный корень, находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

$x - 5 \ge 0$

$x \ge 5$

Следовательно, область определения — это промежуток $[5; +\infty)$.

Ответ: $D(f) = [5; +\infty)$.

2) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{4-x}}$

Выражение находится под знаком квадратного корня в знаменателе, поэтому оно должно быть строго положительным.

$4 - x > 0$

$x < 4$

Следовательно, область определения — это промежуток $(-\infty; 4)$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 4)$.

3) $f(x) = \frac{9}{x^2 - 5}$

Область определения рациональной функции (дроби) находится из условия, что знаменатель не должен быть равен нулю.

$x^2 - 5 \neq 0$

$x^2 \neq 5$

$x \neq \sqrt{5}$ и $x \neq -\sqrt{5}$

Ответ: $D(f) = (-\infty; -\sqrt{5}) \cup (-\sqrt{5}; \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty)$.

4) $f(x) = \frac{14}{x^2 + 4}$

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$x^2 + 4 \neq 0$

Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 4 \ge 4$. Знаменатель никогда не равен нулю.

Следовательно, функция определена для всех действительных чисел.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

5) $f(x) = \frac{7x+13}{x^2 - 7x}$

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$x^2 - 7x \neq 0$

$x(x - 7) \neq 0$

Это означает, что $x \neq 0$ и $x \neq 7$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 7) \cup (7; +\infty)$.

6) $f(x) = \frac{x}{|x| - 3}$

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$|x| - 3 \neq 0$

$|x| \neq 3$

Это означает, что $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

7) $f(x) = \frac{9}{|x| + 5}$

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$|x| + 5 \neq 0$

Так как $|x| \ge 0$ для любого действительного $x$, то $|x| + 5 \ge 5$. Знаменатель никогда не равен нулю.

Следовательно, функция определена для всех действительных чисел.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

8) $f(x) = \frac{13}{|x| + x^2}$

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$|x| + x^2 \neq 0$

Сумма $|x| + x^2$ равна нулю только в том случае, если оба слагаемых равны нулю, то есть $|x|=0$ и $x^2=0$. Это происходит только при $x=0$.

Следовательно, $x \neq 0$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

9) $f(x) = \sqrt{x+5} + \sqrt{3-x}$

Функция является суммой двух корней. Область определения — это пересечение областей определения каждого слагаемого. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными.

$\begin{cases} x+5 \ge 0 \\ 3-x \ge 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x \ge -5 \\ x \le 3 \end{cases}$

Решением системы является промежуток $[-5; 3]$.

Ответ: $D(f) = [-5; 3]$.

10) $f(x) = \sqrt{x-1} + \frac{x+3}{x-10}$

Область определения функции — это пересечение областей определения слагаемых.

1. Для $\sqrt{x-1}$: подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

2. Для $\frac{x+3}{x-10}$: знаменатель не должен быть равен нулю: $x-10 \neq 0 \implies x \neq 10$.

Объединяя условия, получаем $x \ge 1$ и $x \neq 10$.

Ответ: $D(f) = [1; 10) \cup (10; +\infty)$.

11) $f(x) = \sqrt{x-2} + \sqrt{2-x}$

Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными.

$\begin{cases} x-2 \ge 0 \\ 2-x \ge 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x \ge 2 \\ x \le 2 \end{cases}$

Единственное число, удовлетворяющее обоим условиям, это $x=2$.

Ответ: $D(f) = \{2\}$.

12) $f(x) = \sqrt{x-9} + \frac{6}{\sqrt{8-x}}$

Должны выполняться два условия:

1. Для $\sqrt{x-9}$: $x-9 \ge 0 \implies x \ge 9$.

2. Для $\frac{6}{\sqrt{8-x}}$: выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $8-x > 0 \implies x < 8$.

Нужно найти пересечение условий $x \ge 9$ и $x < 8$. Таких чисел не существует.

Ответ: $D(f) = \emptyset$.

13) $f(x) = \sqrt{x+2} + \frac{x-7}{x^2-4}$

Должны выполняться два условия:

1. Для $\sqrt{x+2}$: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$.

2. Для $\frac{x-7}{x^2-4}$: $x^2-4 \neq 0 \implies x^2 \neq 4 \implies x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Объединяя условия, получаем $x \ge -2$, но $x \neq -2$ и $x \neq 2$. Это эквивалентно $x > -2$ и $x \neq 2$.

Ответ: $D(f) = (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

14) $f(x) = \frac{\sqrt{x-6}}{\sqrt{x+3}} + \frac{5x-4}{x^2 - 8x + 7}$

Рассмотрим оба слагаемых.

1. Для $\frac{\sqrt{x-6}}{\sqrt{x+3}}$: $x-6 \ge 0 \implies x \ge 6$ и $x+3 > 0 \implies x > -3$. Пересечение этих условий: $x \ge 6$.

2. Для $\frac{5x-4}{x^2 - 8x + 7}$: $x^2 - 8x + 7 \neq 0$. Корни уравнения $x^2-8x+7=0$ это $x=1$ и $x=7$. Значит, $x \neq 1$ и $x \neq 7$.

Объединяем все условия: $x \ge 6$ и $x \neq 7$. Условие $x \neq 1$ уже включено в $x \ge 6$.

Ответ: $D(f) = [6; 7) \cup (7; +\infty)$.

15) $f(x) = \sqrt{-x^2 - 8x + 9}$

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

$-x^2 - 8x + 9 \ge 0$

$x^2 + 8x - 9 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 8x - 9 = 0$. $x_1 = -9$, $x_2 = 1$.

Парабола $y = x^2 + 8x - 9$ ветвями вверх, значит, неравенство $\le 0$ выполняется между корнями.

$-9 \le x \le 1$

Ответ: $D(f) = [-9; 1]$.

16) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+6x-7}} + \frac{1}{x^2-2x}$

Должны выполняться два условия:

1. Для $\frac{1}{\sqrt{x^2+6x-7}}$: $x^2+6x-7 > 0$. Корни $x^2+6x-7=0$ это $x_1=-7, x_2=1$. Так как парабола ветвями вверх, $x^2+6x-7 > 0$ при $x < -7$ или $x > 1$.

2. Для $\frac{1}{x^2-2x}$: $x^2-2x \neq 0 \implies x(x-2) \neq 0 \implies x \neq 0$ и $x \neq 2$.

Объединяем условия: $(x < -7 \text{ или } x > 1)$ и $(x \neq 0, x \neq 2)$. Условие $x \neq 0$ уже выполняется. Остается учесть $x \neq 2$ для промежутка $x>1$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -7) \cup (1; 2) \cup (2; +\infty)$.

17) $f(x) = \sqrt{x-6} + \frac{2}{\sqrt{x^2 - 4x - 12}}$

Должны выполняться два условия:

1. Для $\sqrt{x-6}$: $x-6 \ge 0 \implies x \ge 6$.

2. Для $\frac{2}{\sqrt{x^2 - 4x - 12}}$: $x^2 - 4x - 12 > 0$. Корни $x^2 - 4x - 12 = 0$ это $x_1=-2, x_2=6$. Парабола ветвями вверх, значит $x^2 - 4x - 12 > 0$ при $x < -2$ или $x > 6$.

Пересечение условий $x \ge 6$ и $(x < -2 \text{ или } x > 6)$ дает $x > 6$.

Ответ: $D(f) = (6; +\infty)$.

18) $f(x) = \frac{6}{\sqrt{15x-3x^2}} + \frac{x-5}{x^2-9}$

Должны выполняться два условия:

1. Для $\frac{6}{\sqrt{15x-3x^2}}$: $15x-3x^2 > 0 \implies 3x(5-x) > 0$. Корни $x=0, x=5$. Парабола ветвями вниз, значит $15x-3x^2>0$ при $0 < x < 5$.

2. Для $\frac{x-5}{x^2-9}$: $x^2-9 \neq 0 \implies x^2 \neq 9 \implies x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Объединяем условия: $0 < x < 5$ и $x \neq 3, x \neq -3$. Условие $x \neq -3$ выполняется. Остается исключить $x=3$ из интервала $(0; 5)$.

Ответ: $D(f) = (0; 3) \cup (3; 5)$.