Номер 6, страница 309 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6. Решите неравенство $x^7 + 3x > 2x^4 + 2$.

6.

Перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы сравнить выражение с нулем:

$x^7 + 3x - 2x^4 - 2 > 0$

Перегруппируем члены по степеням $x$:

$x^7 - 2x^4 + 3x - 2 > 0$

Для решения этого неравенства введем функцию $f(x) = x^7 - 2x^4 + 3x - 2$. Наша задача — найти все значения $x$, для которых $f(x) > 0$.

Сначала попробуем найти корни уравнения $f(x) = 0$. Проверим целые делители свободного члена (-2), то есть числа $\pm1, \pm2$.

Подставим $x = 1$ в функцию:

$f(1) = 1^7 - 2(1)^4 + 3(1) - 2 = 1 - 2 + 3 - 2 = 0$.

Так как $f(1) = 0$, то $x=1$ является корнем уравнения. Это означает, что график функции $f(x)$ пересекает ось абсцисс в точке $x=1$.

Чтобы определить знак функции на промежутках, исследуем ее на монотонность. Для этого найдем ее производную:

$f'(x) = (x^7 - 2x^4 + 3x - 2)' = 7x^6 - 8x^3 + 3$.

Определим знак производной $f'(x)$. Для этого сделаем замену переменной $y = x^3$. Тогда выражение для производной можно рассматривать как квадратный трехчлен относительно $y$:

$7y^2 - 8y + 3$.

Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 3 = 64 - 84 = -20$.

Дискриминант отрицателен ($D < 0$), а старший коэффициент положителен ($a = 7 > 0$). Это означает, что парабола $7y^2 - 8y + 3$ полностью лежит выше оси абсцисс, то есть принимает только положительные значения при любом действительном значении $y$.

Так как $y = x^3$ может принимать любое действительное значение (для любого $x \in \mathbb{R}$), то производная $f'(x) = 7x^6 - 8x^3 + 3$ всегда положительна для всех $x \in \mathbb{R}$.

Поскольку $f'(x) > 0$ для всех $x$, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения (на всей числовой прямой).

Строго возрастающая функция может иметь не более одного корня. Мы уже нашли этот корень: $x=1$. Так как функция $f(x)$ строго возрастает и $f(1)=0$, мы можем сделать следующие выводы:

1. Для всех $x > 1$, значение функции будет больше, чем в точке 1, то есть $f(x) > f(1) \Rightarrow f(x) > 0$.

2. Для всех $x < 1$, значение функции будет меньше, чем в точке 1, то есть $f(x) < f(1) \Rightarrow f(x) < 0$.

Исходное неравенство $x^7 - 2x^4 + 3x - 2 > 0$ эквивалентно $f(x) > 0$. Согласно нашему анализу, это неравенство выполняется при $x > 1$.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.