gdz.top
Номер 4, страница 309 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, красный
ISBN: 978-5-09-087861-6
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 5. Производная и её применение. Применение производной для решения уравнений и доказательства неравенств - номер 4, страница 309.
№3
№4 (с. 309)
Условие. №4 (с. 309)
4. Решите уравнение
$x^5 + 4x + \cos x = 1$
Решение 1. №4 (с. 309)
Решение 5. №4 (с. 309)
Рассмотрим данное уравнение: $x^5 + 4x + \cos x = 1$.
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить уравнение вида $f(x) = 0$: $x^5 + 4x + \cos x - 1 = 0$.
Введем функцию $f(x) = x^5 + 4x + \cos x - 1$.
Попробуем найти корень уравнения методом подбора. Проверим значение функции при $x=0$: $f(0) = 0^5 + 4 \cdot 0 + \cos(0) - 1 = 0 + 0 + 1 - 1 = 0$. Следовательно, $x=0$ является корнем данного уравнения.
Чтобы определить, есть ли у уравнения другие корни, исследуем функцию $f(x)$ на монотонность. Для этого найдем ее производную: $f'(x) = (x^5 + 4x + \cos x - 1)' = 5x^4 + 4 - \sin x$.
Оценим знак производной. Нам известно, что:
- $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$, а значит $5x^4 \ge 0$.
- Функция $\sin x$ принимает значения в диапазоне $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$.
Тогда для производной $f'(x) = 5x^4 + 4 - \sin x$ можно записать оценку: $f'(x) = 5x^4 + (4 - \sin x)$. Минимальное значение $5x^4$ равно $0$. Минимальное значение выражения $4 - \sin x$ достигается при максимальном значении $\sin x = 1$ и равно $4 - 1 = 3$. Таким образом, $f'(x) \ge 0 + 3 = 3$.
Поскольку производная $f'(x)$ всегда положительна ($f'(x) \ge 3$), функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси.
Строго возрастающая функция может пересекать ось абсцисс (то есть принимать значение, равное нулю) не более одного раза. Так как мы уже нашли один корень $x=0$, он является единственным решением уравнения.
Ответ: $0$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 4 расположенного на странице 309 к учебнику 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4 (с. 309), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.