gdz.top
Номер 5, страница 309 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, красный
ISBN: 978-5-09-087861-6
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 5. Производная и её применение. Применение производной для решения уравнений и доказательства неравенств - номер 5, страница 309.
№4
№5 (с. 309)
Условие. №5 (с. 309)
5. Решите уравнение $x^3 + 2x = \sin x$.
Решение 1. №5 (с. 309)
Решение 5. №5 (с. 309)
Данное уравнение $x^3 + 2x = \sin x$ является трансцендентным, и для его решения удобно использовать метод анализа функций.
Перенесем все члены уравнения в одну сторону: $x^3 + 2x - \sin x = 0$.
Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + 2x - \sin x$. Нам нужно найти значения $x$, при которых $f(x) = 0$.
Сначала попробуем найти очевидные корни. Подставим $x=0$: $f(0) = 0^3 + 2 \cdot 0 - \sin 0 = 0 + 0 - 0 = 0$. Следовательно, $x=0$ является корнем уравнения.
Теперь докажем, что этот корень единственный. Для этого исследуем функцию $f(x)$ на монотонность с помощью ее производной.
Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = (x^3 + 2x - \sin x)' = 3x^2 + 2 - \cos x$.
Оценим знак производной. Нам известно, что:
- Выражение $3x^2$ всегда неотрицательно, то есть $3x^2 \ge 0$ для любого $x$.
- Функция $\cos x$ принимает значения в диапазоне от $-1$ до $1$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$.
Рассмотрим выражение $2 - \cos x$. Так как максимальное значение $\cos x$ равно 1, минимальное значение выражения $2 - \cos x$ будет $2 - 1 = 1$. Таким образом, $2 - \cos x \ge 1$.
Теперь мы можем оценить всю производную: $f'(x) = 3x^2 + (2 - \cos x)$. Поскольку $3x^2 \ge 0$ и $(2 - \cos x) \ge 1$, их сумма всегда будет больше или равна 1: $f'(x) \ge 0 + 1 = 1$.
Так как производная $f'(x)$ всегда строго положительна ($f'(x) \ge 1 > 0$) для всех действительных значений $x$, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси.
Строго возрастающая функция может пересекать ось абсцисс (то есть принимать значение 0) не более одного раза. Поскольку мы уже нашли один корень $x=0$, других корней у уравнения быть не может.
Ответ: $x=0$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 5 расположенного на странице 309 к учебнику 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5 (с. 309), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.