Номер 4, страница 307 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4. Докажите, что функция $f(x) = x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 11x - 7$ является выпуклой вниз на $\mathbb{R}$.

Для того чтобы доказать, что функция является выпуклой вниз на множестве действительных чисел $\mathbb{R}$, необходимо найти ее вторую производную и показать, что она неотрицательна (то есть $f''(x) \ge 0$) для всех $x \in \mathbb{R}$.

Дана функция: $f(x) = x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 11x - 7$.

Найдем последовательно первую и вторую производные функции.
Первая производная:
$f'(x) = (x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 11x - 7)' = 4x^3 - 12x^2 + 24x - 11$.
Вторая производная:
$f''(x) = (4x^3 - 12x^2 + 24x - 11)' = 12x^2 - 24x + 24$.

Теперь необходимо исследовать знак второй производной $f''(x) = 12x^2 - 24x + 24$. Выражение для второй производной является квадратичной функцией, графиком которой служит парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 12, он положителен, значит, ветви параболы направлены вверх.

Чтобы определить знак функции, найдем дискриминант $D$ квадратного трехчлена $12x^2 - 24x + 24$:
$D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 24 = 576 - 1152 = -576$.
Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$) и ветви параболы направлены вверх, парабола не пересекает ось абсцисс и полностью расположена над ней. Это означает, что $f''(x) > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Также это можно показать, выделив полный квадрат:
$f''(x) = 12x^2 - 24x + 24 = 12(x^2 - 2x + 2) = 12((x^2 - 2x + 1) + 1) = 12((x-1)^2 + 1)$.
Выражение $(x-1)^2$ всегда неотрицательно: $(x-1)^2 \ge 0$.
Следовательно, сумма $(x-1)^2 + 1 \ge 1$.
Тогда $f''(x) = 12((x-1)^2 + 1) \ge 12 \cdot 1 = 12$.

Так как вторая производная $f''(x)$ строго положительна для всех действительных значений $x$, функция $f(x)$ является выпуклой вниз на всей числовой прямой $\mathbb{R}$.

Ответ: Утверждение доказано. Функция $f(x) = x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 11x - 7$ является выпуклой вниз на $\mathbb{R}$, поскольку ее вторая производная $f''(x) = 12(x-1)^2 + 12$ положительна при всех $x \in \mathbb{R}$.