Номер 41.3, страница 303 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

41.3. Постройте график функции:

1) $f(x) = \frac{4 - x}{x + 2}$;

2) $f(x) = \frac{2}{x^2 - 1}$;

3) $f(x) = \frac{6x - 6}{x^2 + 3}$;

4) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4}$;

5) $f(x) = \frac{x}{4 - x^2}$;

6) $f(x) = -\frac{2x}{x^2 + 1}$;

7) $f(x) = \frac{2(x - 1)}{x^2}$;

8) $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4}$.

Для построения графика функции проведем полное исследование каждой функции.

1. Область определения функции.
Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.
$D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

2. Четность/нечетность.
$f(-x) = \frac{4-(-x)}{-x+2} = \frac{4+x}{2-x}$.
Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

3. Точки пересечения с осями координат.
- С осью OY (x=0): $f(0) = \frac{4-0}{0+2} = 2$. Точка пересечения: $(0, 2)$.
- С осью OX (y=0): $\frac{4-x}{x+2} = 0 \implies 4-x=0 \implies x=4$. Точка пересечения: $(4, 0)$.

4. Асимптоты.
- Вертикальная асимптота: $x = -2$, так как при $x \to -2$ знаменатель стремится к нулю, а числитель к $6$.
$\lim_{x \to -2^-} \frac{4-x}{x+2} = -\infty$, $\lim_{x \to -2^+} \frac{4-x}{x+2} = +\infty$.
- Горизонтальная асимптота: $y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4-x}{x+2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-1+4/x}{1+2/x} = -1$.
Горизонтальная асимптота: $y=-1$.

5. Интервалы монотонности и экстремумы.
Найдем производную: $f'(x) = (\frac{4-x}{x+2})' = \frac{-(x+2)-(4-x)}{(x+2)^2} = \frac{-x-2-4+x}{(x+2)^2} = \frac{-6}{(x+2)^2}$.
$f'(x) < 0$ для всех $x$ из области определения. Следовательно, функция убывает на интервалах $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$. Экстремумов нет.

6. Построение графика.
На основе полученных данных строим график. Он состоит из двух ветвей гиперболы. График имеет вертикальную асимптоту $x=-2$ и горизонтальную асимптоту $y=-1$. Он пересекает оси в точках $(0, 2)$ и $(4, 0)$ и убывает на всей области определения.

Ответ: График функции является гиперболой с вертикальной асимптотой $x=-2$ и горизонтальной асимптотой $y=-1$. Точки пересечения с осями: $(0, 2)$ и $(4, 0)$. Функция убывает на $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$.

1. Область определения: $x^2-1 \neq 0 \implies x \neq \pm 1$.
$D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Четность: $f(-x) = \frac{2}{(-x)^2-1} = \frac{2}{x^2-1} = f(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси OY.

3. Пересечения с осями:
- С OY (x=0): $f(0) = \frac{2}{0-1} = -2$. Точка $(0, -2)$.
- С OX (y=0): $\frac{2}{x^2-1}=0$. Нет решений. Пересечений с осью OX нет.

4. Асимптоты:
- Вертикальные: $x=1$ и $x=-1$.
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$. В силу четности, $\lim_{x \to -1^+} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to -1^-} f(x) = +\infty$.
- Горизонтальная: $y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2}{x^2-1} = 0$. Горизонтальная асимптота: $y=0$.

5. Монотонность и экстремумы:
$f'(x) = (\frac{2}{x^2-1})' = \frac{-2 \cdot 2x}{(x^2-1)^2} = \frac{-4x}{(x^2-1)^2}$.
$f'(x) = 0$ при $x=0$.
При $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0)$, $f'(x)>0$, функция возрастает.
При $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$, $f'(x)<0$, функция убывает.
$x=0$ — точка локального максимума. $f(0)=-2$. Точка максимума $(0, -2)$.

Ответ: График симметричен относительно оси OY. Вертикальные асимптоты $x=-1$ и $x=1$. Горизонтальная асимптота $y=0$. Точка локального максимума $(0, -2)$. График возрастает на $(-\infty; -1)$ и $(-1; 0)$, убывает на $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.

1. Область определения: $x^2+3 > 0$ для всех $x$. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность: $f(-x) = \frac{-6x-6}{x^2+3}$. Функция общего вида.

3. Пересечения с осями:
- С OY (x=0): $f(0) = \frac{-6}{3} = -2$. Точка $(0, -2)$.
- С OX (y=0): $6x-6=0 \implies x=1$. Точка $(1, 0)$.

4. Асимптоты:
- Вертикальных асимптот нет.
- Горизонтальная: $y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{6x-6}{x^2+3} = 0$. Асимптота $y=0$.

5. Монотонность и экстремумы:
$f'(x) = \frac{6(x^2+3) - (6x-6)(2x)}{(x^2+3)^2} = \frac{6x^2+18 - 12x^2+12x}{(x^2+3)^2} = \frac{-6x^2+12x+18}{(x^2+3)^2} = \frac{-6(x^2-2x-3)}{(x^2+3)^2} = \frac{-6(x-3)(x+1)}{(x^2+3)^2}$.
$f'(x) = 0$ при $x=3$ и $x=-1$.
$x=-1$ — точка минимума, $f(-1) = \frac{-12}{4}=-3$. Точка $(-1, -3)$.
$x=3$ — точка максимума, $f(3) = \frac{12}{12}=1$. Точка $(3, 1)$.
Функция убывает на $(-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$, возрастает на $(-1, 3)$.

Ответ: Горизонтальная асимптота $y=0$. Пересечение осей в точках $(0, -2)$ и $(1, 0)$. Точка локального минимума $(-1, -3)$, точка локального максимума $(3, 1)$.

1. Область определения: $x^2-4 \neq 0 \implies x \neq \pm 2$.
$D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Четность: $f(-x) = \frac{(-x)^2-9}{(-x)^2-4} = f(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси OY.

3. Пересечения с осями:
- С OY (x=0): $f(0) = \frac{-9}{-4} = 2.25$. Точка $(0, 2.25)$.
- С OX (y=0): $x^2-9=0 \implies x = \pm 3$. Точки $(\pm 3, 0)$.

4. Асимптоты:
- Вертикальные: $x=2$ и $x=-2$.
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to 2^-} f(x) = +\infty$. В силу четности, $\lim_{x \to -2^+} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to -2^-} f(x) = -\infty$.
- Горизонтальная: $y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2-9}{x^2-4} = 1$. Асимптота $y=1$.

5. Монотонность и экстремумы:
$f'(x) = \frac{2x(x^2-4) - (x^2-9)(2x)}{(x^2-4)^2} = \frac{2x^3-8x-2x^3+18x}{(x^2-4)^2} = \frac{10x}{(x^2-4)^2}$.
$f'(x) = 0$ при $x=0$.
При $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 0)$, $f'(x)<0$, функция убывает.
При $x \in (0, 2) \cup (2, +\infty)$, $f'(x)>0$, функция возрастает.
$x=0$ — точка локального минимума. $f(0)=2.25$. Точка минимума $(0, 2.25)$.

Ответ: График симметричен относительно оси OY. Вертикальные асимптоты $x=\pm 2$, горизонтальная асимптота $y=1$. Пересечение с OX в точках $(\pm 3, 0)$. Точка локального минимума $(0, 2.25)$.

1. Область определения: $4-x^2 \neq 0 \implies x \neq \pm 2$.
$D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Четность: $f(-x) = \frac{-x}{4-(-x)^2} = -f(x)$. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3. Пересечения с осями:
- С OY (x=0): $f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.
- С OX (y=0): $x=0$. Точка $(0, 0)$.

4. Асимптоты:
- Вертикальные: $x=2$ и $x=-2$.
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to 2^-} f(x) = +\infty$. В силу нечетности, $\lim_{x \to -2^+} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to -2^-} f(x) = +\infty$.
- Горизонтальная: $y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{4-x^2} = 0$. Асимптота $y=0$.

5. Монотонность и экстремумы:
$f'(x) = \frac{1(4-x^2) - x(-2x)}{(4-x^2)^2} = \frac{4-x^2+2x^2}{(4-x^2)^2} = \frac{x^2+4}{(4-x^2)^2}$.
$f'(x) > 0$ для всех $x$ из области определения. Экстремумов нет. Функция возрастает на каждом из интервалов $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$, $(2; +\infty)$.

Ответ: График симметричен относительно начала координат. Вертикальные асимптоты $x=\pm 2$, горизонтальная асимптота $y=0$. Пересечение с осями в точке $(0, 0)$. Функция возрастает на всей области определения. Экстремумов нет.

1. Область определения: $x^2+1 > 0$ для всех $x$. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность: $f(-x) = -\frac{2(-x)}{(-x)^2+1} = \frac{2x}{x^2+1} = -f(x)$. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3. Пересечения с осями:
Пересечение с обеими осями в точке $(0, 0)$.

4. Асимптоты:
- Вертикальных асимптот нет.
- Горизонтальная: $y = \lim_{x \to \pm\infty} -\frac{2x}{x^2+1} = 0$. Асимптота $y=0$.

5. Монотонность и экстремумы:
$f'(x) = - \frac{2(x^2+1) - 2x(2x)}{(x^2+1)^2} = - \frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{2(x^2-1)}{(x^2+1)^2} = \frac{2(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2}$.
$f'(x) = 0$ при $x=\pm 1$.
$x=-1$ — точка максимума, $f(-1) = -\frac{-2}{2}=1$. Точка $(-1, 1)$.
$x=1$ — точка минимума, $f(1) = -\frac{2}{2}=-1$. Точка $(1, -1)$.
Функция возрастает на $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$, убывает на $(-1, 1)$.

Ответ: График симметричен относительно начала координат. Горизонтальная асимптота $y=0$. Пересечение осей в $(0, 0)$. Точка локального максимума $(-1, 1)$, точка локального минимума $(1, -1)$.

1. Область определения: $x \neq 0$. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Четность: $f(-x) = \frac{2(-x-1)}{(-x)^2} = \frac{-2(x+1)}{x^2}$. Функция общего вида.

3. Пересечения с осями:
- С OY: нет, так как $x \neq 0$.
- С OX (y=0): $2(x-1)=0 \implies x=1$. Точка $(1, 0)$.

4. Асимптоты:
- Вертикальная: $x=0$. $\lim_{x \to 0} \frac{2(x-1)}{x^2} = \frac{-2}{+0} = -\infty$.
- Горизонтальная: $y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x-2}{x^2} = 0$. Асимптота $y=0$.

5. Монотонность и экстремумы:
$f'(x) = \frac{2(x^2) - 2(x-1)(2x)}{x^4} = \frac{2x-4(x-1)}{x^3} = \frac{-2x+4}{x^3} = \frac{-2(x-2)}{x^3}$.
$f'(x)=0$ при $x=2$.
При $x \in (0, 2)$, $f'(x)>0$, функция возрастает.
При $x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$, $f'(x)<0$, функция убывает.
$x=2$ — точка максимума. $f(2) = \frac{2(2-1)}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Точка $(2, 1/2)$.

Ответ: Вертикальная асимптота $x=0$ (график уходит в $-\infty$ с обеих сторон), горизонтальная асимптота $y=0$. Пересечение с осью OX в точке $(1, 0)$. Точка локального максимума $(2, 1/2)$.

1. Область определения: $x \neq \pm 2$.
$D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Четность: $f(-x) = \frac{(-x)^2+4}{(-x)^2-4} = f(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси OY.

3. Пересечения с осями:
- С OY (x=0): $f(0) = \frac{4}{-4} = -1$. Точка $(0, -1)$.
- С OX (y=0): $x^2+4=0$. Нет действительных корней. Пересечений с OX нет.

4. Асимптоты:
- Вертикальные: $x=2$ и $x=-2$.
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$. В силу четности, $\lim_{x \to -2^+} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to -2^-} f(x) = +\infty$.
- Горизонтальная: $y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2+4}{x^2-4} = 1$. Асимптота $y=1$.

5. Монотонность и экстремумы:
$f'(x) = \frac{2x(x^2-4) - (x^2+4)(2x)}{(x^2-4)^2} = \frac{-16x}{(x^2-4)^2}$.
$f'(x) = 0$ при $x=0$.
При $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 0)$, $f'(x)>0$, функция возрастает.
При $x \in (0, 2) \cup (2, +\infty)$, $f'(x)<0$, функция убывает.
$x=0$ — точка локального максимума. $f(0)=-1$. Точка $(0, -1)$.

Ответ: График симметричен относительно оси OY. Вертикальные асимптоты $x=\pm 2$, горизонтальная асимптота $y=1$. Нет пересечений с осью OX. Точка локального максимума $(0, -1)$.