Вопрос, страница 302 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 5. Производная и её применение. Параграф 41. Построение графиков функций - страница 302.

Условие.

Опишите план исследования свойств функции.

Решение 1.

Решение 5.

Исследование свойств функции и построение ее графика — это стандартная задача в математическом анализе, которая выполняется по следующему плану:

1. Область определения функции

   Находят множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция $f(x)$ определена (имеет смысл). Для этого необходимо выявить и исключить значения $x$, которые приводят к недопустимым математическим операциям, таким как деление на ноль, извлечение корня четной степени из отрицательного числа или вычисление логарифма от неположительного числа.

   Ответ: Множество $D(f)$, являющееся областью определения функции.

2. Четность, нечетность и периодичность

   Проверяется симметрия графика. Функция является четной, если для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График такой функции симметричен относительно оси ординат ($Oy$). Функция является нечетной, если выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат. Если ни одно из условий не выполняется, функция является функцией общего вида. Также исследуют функцию на периодичность, то есть ищут такое число $T > 0$, что $f(x+T)=f(x)$ для всех $x$ из области определения.

   Ответ: Вывод о том, является ли функция четной, нечетной, периодической или функцией общего вида.

3. Точки пересечения графика с осями координат

   Находят точки, в которых график функции пересекает оси $Ox$ и $Oy$.
   - Пересечение с осью $Oy$: вычисляют значение функции при $x=0$. Координаты этой точки $(0; f(0))$.
   - Пересечение с осью $Ox$ (нули функции): решают уравнение $f(x)=0$. Найденные корни $x_1, x_2, \dots$ являются абсциссами точек пересечения $(x_i; 0)$.

   Ответ: Координаты точек пересечения графика функции с осями координат.

4. Промежутки знакопостоянства

   Определяют интервалы, на которых функция сохраняет свой знак (то есть, где $f(x) > 0$ и где $f(x) < 0$). Для этого на числовую ось наносят область определения и нули функции. Затем, выбирая по одной точке из каждого полученного интервала, определяют знак функции на всем интервале.

   Ответ: Интервалы, на которых функция положительна, и интервалы, на которых она отрицательна.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума

   Это исследование проводится с помощью первой производной $f'(x)$.
   - Находят производную $f'(x)$.
   - Находят критические точки, в которых $f'(x)=0$ или не существует.
   - Определяют знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения. Если $f'(x) > 0$, функция возрастает. Если $f'(x) < 0$, функция убывает.
   - Точки, в которых производная меняет знак, являются точками экстремума. Если знак меняется с «+» на «-», это точка максимума, если с «-» на «+» — точка минимума.

   Ответ: Промежутки возрастания и убывания функции, координаты ее точек максимума и минимума.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба

   Это исследование проводится с помощью второй производной $f''(x)$.
   - Находят вторую производную $f''(x)$.
   - Находят точки, в которых $f''(x)=0$ или не существует.
   - Определяют знаки второй производной на полученных интервалах. Если $f''(x) < 0$, график функции выпуклый (или выпуклый вверх). Если $f''(x) > 0$, график вогнутый (или выпуклый вниз).
   - Точки, в которых направление выпуклости меняется, называются точками перегиба.

   Ответ: Промежутки выпуклости и вогнутости графика, координаты точек перегиба.

7. Асимптоты графика

   Асимптота — это прямая, к которой неограниченно приближается график функции при удалении его точки в бесконечность.
   - Вертикальные асимптоты: существуют в точках разрыва второго рода, то есть в точках $a$, где предел функции равен бесконечности: $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$. Уравнение асимптоты: $x=a$.
   - Горизонтальные асимптоты: существуют, если предел функции на бесконечности равен конечному числу: $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$. Уравнение асимптоты: $y=L$.
   - Наклонные асимптоты: ищут, если горизонтальных асимптот нет. Уравнение имеет вид $y=kx+b$, где коэффициенты находятся по формулам: $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$ и $b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx)$.

   Ответ: Уравнения всех найденных асимптот (вертикальных, горизонтальных, наклонных).

8. Построение графика

   На основе всех проведенных исследований строится эскиз графика. На координатную плоскость наносят асимптоты, отмечают точки пересечения с осями, точки экстремумов и перегиба. Соединяют эти точки плавными линиями, учитывая информацию о монотонности и выпуклости на каждом участке. Для большей точности можно вычислить значения функции в нескольких дополнительных точках.

   Ответ: Итоговый эскиз графика функции, наглядно демонстрирующий все ее исследованные свойства.