Номер 3, страница 307 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3. Исследуйте на выпуклость функцию:

1) $y = x^3 - 3x + 2$;

2) $y = x^4 - 8x^3 + 18x^2 - x + 1$.

1) $y = x^3 - 3x + 2$

Для исследования функции на выпуклость необходимо найти ее вторую производную. Если $y'' > 0$ на некотором интервале, то на этом интервале функция является выпуклой вниз. Если $y'' < 0$, то функция является выпуклой вверх. Точки, в которых направление выпуклости меняется, называются точками перегиба.

1. Область определения функции — все действительные числа, так как это многочлен: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим первую производную:

$y' = (x^3 - 3x + 2)' = 3x^2 - 3$

3. Находим вторую производную:

$y'' = (3x^2 - 3)' = 6x$

4. Найдем нули второй производной, чтобы определить интервалы знакопостоянства:

$y'' = 0 \implies 6x = 0 \implies x = 0$

Точка $x=0$ разбивает числовую прямую на два интервала: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Определим знак $y''$ на каждом из них:

• На интервале $(-\infty; 0)$, $y'' = 6x < 0$, следовательно, график функции выпуклый вверх.
• На интервале $(0; +\infty)$, $y'' = 6x > 0$, следовательно, график функции выпуклый вниз.

5. Поскольку при переходе через точку $x=0$ вторая производная меняет знак, эта точка является абсциссой точки перегиба. Найдем ординату этой точки, подставив $x=0$ в исходное уравнение функции:

$y(0) = 0^3 - 3(0) + 2 = 2$

Точка перегиба имеет координаты $(0; 2)$.

Ответ: функция выпукла вверх на интервале $(-\infty; 0)$ и выпукла вниз на интервале $(0; +\infty)$. Точка $(0; 2)$ является точкой перегиба.

2) $y = x^4 - 8x^3 + 18x^2 - x + 1$

Проведем исследование по тому же алгоритму.

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим первую производную:

$y' = (x^4 - 8x^3 + 18x^2 - x + 1)' = 4x^3 - 24x^2 + 36x - 1$

3. Находим вторую производную:

$y'' = (4x^3 - 24x^2 + 36x - 1)' = 12x^2 - 48x + 36$

4. Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю:

$12x^2 - 48x + 36 = 0$

Разделим обе части уравнения на 12:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Решая квадратное уравнение (например, по теореме Виета), находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 1)$, $(1; 3)$ и $(3; +\infty)$. Определим знак $y'' = 12(x-1)(x-3)$ на каждом интервале методом интервалов:

• На интервале $(-\infty; 1)$, $y'' > 0$ (например, при $x=0$, $y'' = 36 > 0$), следовательно, функция выпукла вниз.
• На интервале $(1; 3)$, $y'' < 0$ (например, при $x=2$, $y'' = 12(2^2 - 4 \cdot 2 + 3) = 12(4 - 8 + 3) = -12 < 0$), следовательно, функция выпукла вверх.
• На интервале $(3; +\infty)$, $y'' > 0$ (например, при $x=4$, $y'' = 12(4^2 - 4 \cdot 4 + 3) = 12(16 - 16 + 3) = 36 > 0$), следовательно, функция выпукла вниз.

5. В точках $x=1$ и $x=3$ вторая производная меняет знак, значит, это абсциссы точек перегиба. Найдем их ординаты:

При $x=1$:$
y(1) = 1^4 - 8(1)^3 + 18(1)^2 - 1 + 1 = 1 - 8 + 18 = 11$.
Точка перегиба $(1; 11)$.

При $x=3$:$
y(3) = 3^4 - 8(3)^3 + 18(3)^2 - 3 + 1 = 81 - 8(27) + 18(9) - 2 = 81 - 216 + 162 - 2 = 25$.
Точка перегиба $(3; 25)$.

Ответ: функция выпукла вниз на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(3; +\infty)$, выпукла вверх на интервале $(1; 3)$. Точки перегиба: $(1; 11)$ и $(3; 25)$.