Страница 307 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Найдите вторую производную функции:

1) $y = x^3;$

2) $y = x^2 - 2x + 5;$

3) $y = \frac{1}{x};$

4) $y = \sqrt{x};$

5) $y = \cos x;$

6) $y = (2x - 1)^5;$

7) $y = \sin 3x;$

8) $y = \cos^2 x;$

9) $y = \sin \frac{x}{4};$

10) $y = x \sin x.$

1) $y = x^3$;
Чтобы найти вторую производную функции, необходимо найти ее первую производную, а затем найти производную от полученной функции.
Первая производная $y'$:
$y' = (x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$.
Вторая производная $y''$:
$y'' = (y')' = (3x^2)' = 3 \cdot 2x^{2-1} = 6x$.
Ответ: $6x$.

2) $y = x^2 - 2x + 5$;
Находим первую производную, дифференцируя функцию почленно:
$y' = (x^2 - 2x + 5)' = (x^2)' - (2x)' + (5)' = 2x - 2 + 0 = 2x - 2$.
Находим вторую производную, дифференцируя первую производную:
$y'' = (2x - 2)' = (2x)' - (2)' = 2 - 0 = 2$.
Ответ: $2$.

3) $y = \frac{1}{x}$;
Представим функцию в виде степени: $y = x^{-1}$.
Находим первую производную по правилу дифференцирования степенной функции:
$y' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.
Находим вторую производную:
$y'' = (-x^{-2})' = -(-2) \cdot x^{-2-1} = 2x^{-3} = \frac{2}{x^3}$.
Ответ: $\frac{2}{x^3}$.

4) $y = \sqrt{x}$;
Представим функцию в виде степени: $y = x^{1/2}$.
Находим первую производную:
$y' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Находим вторую производную:
$y'' = (\frac{1}{2} x^{-1/2})' = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) x^{-\frac{1}{2}-1} = -\frac{1}{4} x^{-3/2} = -\frac{1}{4x\sqrt{x}}$.
Ответ: $-\frac{1}{4x\sqrt{x}}$.

5) $y = \cos x$;
Находим первую производную:
$y' = (\cos x)' = -\sin x$.
Находим вторую производную:
$y'' = (-\sin x)' = -(\sin x)' = -\cos x$.
Ответ: $-\cos x$.

6) $y = (2x - 1)^5$;
Используем правило дифференцирования сложной функции.
Первая производная $y'$:
$y' = ((2x - 1)^5)' = 5(2x - 1)^{5-1} \cdot (2x - 1)' = 5(2x - 1)^4 \cdot 2 = 10(2x - 1)^4$.
Вторая производная $y''$:
$y'' = (10(2x - 1)^4)' = 10 \cdot 4(2x - 1)^{4-1} \cdot (2x - 1)' = 40(2x - 1)^3 \cdot 2 = 80(2x - 1)^3$.
Ответ: $80(2x - 1)^3$.

7) $y = \sin 3x$;
Используем правило дифференцирования сложной функции.
Первая производная $y'$:
$y' = (\sin 3x)' = \cos(3x) \cdot (3x)' = 3\cos(3x)$.
Вторая производная $y''$:
$y'' = (3\cos(3x))' = 3 \cdot (-\sin(3x)) \cdot (3x)' = 3(-\sin(3x)) \cdot 3 = -9\sin(3x)$.
Ответ: $-9\sin(3x)$.

8) $y = \cos^2 x$;
Представим функцию как $y = (\cos x)^2$ и используем правило дифференцирования сложной функции.
Первая производная $y'$:
$y' = ((\cos x)^2)' = 2\cos x \cdot (\cos x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x$.
Используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $, упростим выражение: $y' = -\sin(2x)$.
Вторая производная $y''$:
$y'' = (-\sin(2x))' = -\cos(2x) \cdot (2x)' = -2\cos(2x)$.
Ответ: $-2\cos(2x)$.

9) $y = \sin \frac{x}{4}$;
Используем правило дифференцирования сложной функции.
Первая производная $y'$:
$y' = (\sin \frac{x}{4})' = \cos(\frac{x}{4}) \cdot (\frac{x}{4})' = \frac{1}{4}\cos(\frac{x}{4})$.
Вторая производная $y''$:
$y'' = (\frac{1}{4}\cos(\frac{x}{4}))' = \frac{1}{4} \cdot (-\sin(\frac{x}{4})) \cdot (\frac{x}{4})' = -\frac{1}{4}\sin(\frac{x}{4}) \cdot \frac{1}{4} = -\frac{1}{16}\sin(\frac{x}{4})$.
Ответ: $-\frac{1}{16}\sin(\frac{x}{4})$.

10) $y = x \sin x$;
Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Первая производная $y'$:
$y' = (x \sin x)' = (x)'\sin x + x(\sin x)' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x$.
Вторая производная $y''$:
$y'' = (\sin x + x \cos x)' = (\sin x)' + (x \cos x)'$.
Применяем правило произведения для второго слагаемого:
$y'' = \cos x + ((x)'\cos x + x(\cos x)') = \cos x + (1 \cdot \cos x + x(-\sin x)) = \cos x + \cos x - x \sin x = 2\cos x - x \sin x$.
Ответ: $2\cos x - x \sin x$.

2. Материальная точка движется по координатной прямой по закону $s(t) = 2t^3 - 5t^2 + 4$ (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите её ускорение в момент времени $t_0 = 2$ с.

Задан закон движения материальной точки по координатной прямой: $s(t) = 2t^3 - 5t^2 + 4$. Перемещение $s$ измеряется в метрах, время $t$ — в секундах.

С физической точки зрения, скорость $v(t)$ является первой производной от перемещения $s(t)$ по времени, а ускорение $a(t)$ — первой производной от скорости $v(t)$ по времени (или второй производной от перемещения).

1. Найдем функцию скорости $v(t)$, взяв первую производную от функции перемещения $s(t)$:

$v(t) = s'(t) = (2t^3 - 5t^2 + 4)' = 2 \cdot 3t^{3-1} - 5 \cdot 2t^{2-1} + 0 = 6t^2 - 10t$.

Единица измерения скорости — м/с.

2. Найдем функцию ускорения $a(t)$, взяв первую производную от функции скорости $v(t)$:

$a(t) = v'(t) = (6t^2 - 10t)' = 6 \cdot 2t^{2-1} - 10 = 12t - 10$.

Единица измерения ускорения — м/с².

3. Вычислим ускорение в момент времени $t_0 = 2$ с, подставив значение $t=2$ в полученную формулу для ускорения:

$a(2) = 12 \cdot 2 - 10 = 24 - 10 = 14$.

Ответ: 14 м/с².

3. Исследуйте на выпуклость функцию:

1) $y = x^3 - 3x + 2$;

2) $y = x^4 - 8x^3 + 18x^2 - x + 1$.

1) $y = x^3 - 3x + 2$

Для исследования функции на выпуклость необходимо найти ее вторую производную. Если $y'' > 0$ на некотором интервале, то на этом интервале функция является выпуклой вниз. Если $y'' < 0$, то функция является выпуклой вверх. Точки, в которых направление выпуклости меняется, называются точками перегиба.

1. Область определения функции — все действительные числа, так как это многочлен: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим первую производную:

$y' = (x^3 - 3x + 2)' = 3x^2 - 3$

3. Находим вторую производную:

$y'' = (3x^2 - 3)' = 6x$

4. Найдем нули второй производной, чтобы определить интервалы знакопостоянства:

$y'' = 0 \implies 6x = 0 \implies x = 0$

Точка $x=0$ разбивает числовую прямую на два интервала: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Определим знак $y''$ на каждом из них:

• На интервале $(-\infty; 0)$, $y'' = 6x < 0$, следовательно, график функции выпуклый вверх.
• На интервале $(0; +\infty)$, $y'' = 6x > 0$, следовательно, график функции выпуклый вниз.

5. Поскольку при переходе через точку $x=0$ вторая производная меняет знак, эта точка является абсциссой точки перегиба. Найдем ординату этой точки, подставив $x=0$ в исходное уравнение функции:

$y(0) = 0^3 - 3(0) + 2 = 2$

Точка перегиба имеет координаты $(0; 2)$.

Ответ: функция выпукла вверх на интервале $(-\infty; 0)$ и выпукла вниз на интервале $(0; +\infty)$. Точка $(0; 2)$ является точкой перегиба.

2) $y = x^4 - 8x^3 + 18x^2 - x + 1$

Проведем исследование по тому же алгоритму.

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим первую производную:

$y' = (x^4 - 8x^3 + 18x^2 - x + 1)' = 4x^3 - 24x^2 + 36x - 1$

3. Находим вторую производную:

$y'' = (4x^3 - 24x^2 + 36x - 1)' = 12x^2 - 48x + 36$

4. Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю:

$12x^2 - 48x + 36 = 0$

Разделим обе части уравнения на 12:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Решая квадратное уравнение (например, по теореме Виета), находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 1)$, $(1; 3)$ и $(3; +\infty)$. Определим знак $y'' = 12(x-1)(x-3)$ на каждом интервале методом интервалов:

• На интервале $(-\infty; 1)$, $y'' > 0$ (например, при $x=0$, $y'' = 36 > 0$), следовательно, функция выпукла вниз.
• На интервале $(1; 3)$, $y'' < 0$ (например, при $x=2$, $y'' = 12(2^2 - 4 \cdot 2 + 3) = 12(4 - 8 + 3) = -12 < 0$), следовательно, функция выпукла вверх.
• На интервале $(3; +\infty)$, $y'' > 0$ (например, при $x=4$, $y'' = 12(4^2 - 4 \cdot 4 + 3) = 12(16 - 16 + 3) = 36 > 0$), следовательно, функция выпукла вниз.

5. В точках $x=1$ и $x=3$ вторая производная меняет знак, значит, это абсциссы точек перегиба. Найдем их ординаты:

При $x=1$:$
y(1) = 1^4 - 8(1)^3 + 18(1)^2 - 1 + 1 = 1 - 8 + 18 = 11$.
Точка перегиба $(1; 11)$.

При $x=3$:$
y(3) = 3^4 - 8(3)^3 + 18(3)^2 - 3 + 1 = 81 - 8(27) + 18(9) - 2 = 81 - 216 + 162 - 2 = 25$.
Точка перегиба $(3; 25)$.

Ответ: функция выпукла вниз на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(3; +\infty)$, выпукла вверх на интервале $(1; 3)$. Точки перегиба: $(1; 11)$ и $(3; 25)$.

4. Докажите, что функция $f(x) = x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 11x - 7$ является выпуклой вниз на $\mathbb{R}$.

Для того чтобы доказать, что функция является выпуклой вниз на множестве действительных чисел $\mathbb{R}$, необходимо найти ее вторую производную и показать, что она неотрицательна (то есть $f''(x) \ge 0$) для всех $x \in \mathbb{R}$.

Дана функция: $f(x) = x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 11x - 7$.

Найдем последовательно первую и вторую производные функции.
Первая производная:
$f'(x) = (x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 11x - 7)' = 4x^3 - 12x^2 + 24x - 11$.
Вторая производная:
$f''(x) = (4x^3 - 12x^2 + 24x - 11)' = 12x^2 - 24x + 24$.

Теперь необходимо исследовать знак второй производной $f''(x) = 12x^2 - 24x + 24$. Выражение для второй производной является квадратичной функцией, графиком которой служит парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 12, он положителен, значит, ветви параболы направлены вверх.

Чтобы определить знак функции, найдем дискриминант $D$ квадратного трехчлена $12x^2 - 24x + 24$:
$D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 24 = 576 - 1152 = -576$.
Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$) и ветви параболы направлены вверх, парабола не пересекает ось абсцисс и полностью расположена над ней. Это означает, что $f''(x) > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Также это можно показать, выделив полный квадрат:
$f''(x) = 12x^2 - 24x + 24 = 12(x^2 - 2x + 2) = 12((x^2 - 2x + 1) + 1) = 12((x-1)^2 + 1)$.
Выражение $(x-1)^2$ всегда неотрицательно: $(x-1)^2 \ge 0$.
Следовательно, сумма $(x-1)^2 + 1 \ge 1$.
Тогда $f''(x) = 12((x-1)^2 + 1) \ge 12 \cdot 1 = 12$.

Так как вторая производная $f''(x)$ строго положительна для всех действительных значений $x$, функция $f(x)$ является выпуклой вниз на всей числовой прямой $\mathbb{R}$.

Ответ: Утверждение доказано. Функция $f(x) = x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 11x - 7$ является выпуклой вниз на $\mathbb{R}$, поскольку ее вторая производная $f''(x) = 12(x-1)^2 + 12$ положительна при всех $x \in \mathbb{R}$.