gdz.top
Номер 2, страница 309 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, красный
ISBN: 978-5-09-087861-6
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 5. Производная и её применение. Применение производной для решения уравнений и доказательства неравенств - номер 2, страница 309.
№1
№2 (с. 309)
Условие. №2 (с. 309)
2. Докажите неравенство $x < \operatorname{tg}x$, где $x \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$.
Решение 1. №2 (с. 309)
Решение 5. №2 (с. 309)
Для доказательства данного неравенства введём вспомогательную функцию $f(x) = \tg x - x$. Нам необходимо доказать, что $f(x) > 0$ при всех $x \in (0; \frac{\pi}{2})$.
Для этого исследуем поведение функции с помощью её производной. Найдём производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\tg x - x)' = (\tg x)' - (x)'$
Производная тангенса равна $\frac{1}{\cos^2 x}$, а производная $x$ равна 1. Таким образом, получаем:
$f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$
Рассмотрим знак производной на интервале $(0; \frac{\pi}{2})$. На этом интервале значение косинуса $ \cos x $ находится в пределах $0 < \cos x < 1$. Следовательно, его квадрат $ \cos^2 x $ также удовлетворяет неравенству $0 < \cos^2 x < 1$.
Из этого следует, что дробь $\frac{1}{\cos^2 x}$ будет строго больше 1. Значит, производная $f'(x)$ на всём интервале $(0; \frac{\pi}{2})$ строго положительна:
$f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} - 1 > 0$
Поскольку производная функции положительна, функция $f(x)$ является строго возрастающей на интервале $(0; \frac{\pi}{2})$.
Теперь найдём значение функции на левой границе рассматриваемого интервала, то есть при $x=0$:
$f(0) = \tg 0 - 0 = 0$
Так как функция $f(x)$ строго возрастает на $(0; \frac{\pi}{2})$ и $f(0) = 0$, то для любого $x$ из этого интервала будет выполняться неравенство $f(x) > f(0)$.
Это означает, что $\tg x - x > 0$ для всех $x \in (0; \frac{\pi}{2})$.
Перенеся $x$ в правую часть неравенства, получаем $ \tg x > x $, что эквивалентно исходному неравенству $x < \tg x$.
Таким образом, неравенство доказано. Что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство $x < \tg x$ для $x \in (0; \frac{\pi}{2})$ доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 2 расположенного на странице 309 к учебнику 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №2 (с. 309), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.