Номер 9, страница 309 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2021

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2021 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: синий, красный

ISBN: 978-5-09-087861-6

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика. Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Применение производной для решения уравнений и доказательства неравенств. Глава 5. Производная и её применение - номер 9, страница 309.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№9 (с. 309)
Условие. №9 (с. 309)
скриншот условия
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2021, страница 309, номер 9, Условие

9. Решите систему уравнений {2x2y=cosycosx,x+y=8.\begin{cases} 2x - 2y = \cos y - \cos x, \\ x + y = 8. \end{cases}

Решение 1. №9 (с. 309)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2021, страница 309, номер 9, Решение 1
Решение 5. №9 (с. 309)

Дана система уравнений:

{2x2y=cosycosx,x+y=8. \begin{cases} 2x - 2y = \cos y - \cos x, \\ x + y = 8. \end{cases}

Для решения системы выразим переменную y из второго уравнения через x:

y=8x y = 8 - x

Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:

2x2(8x)=cos(8x)cosx 2x - 2(8 - x) = \cos(8 - x) - \cos x

Упростим левую часть полученного уравнения:

2x16+2x=cos(8x)cosx 2x - 16 + 2x = \cos(8 - x) - \cos x

4x16=cos(8x)cosx 4x - 16 = \cos(8 - x) - \cos x

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить уравнение вида f(x)=0f(x) = 0:

4x16+cosxcos(8x)=0 4x - 16 + \cos x - \cos(8 - x) = 0

Рассмотрим функцию f(x)=4x16+cosxcos(8x)f(x) = 4x - 16 + \cos x - \cos(8 - x). Чтобы определить количество решений уравнения f(x)=0f(x) = 0, исследуем эту функцию на монотонность с помощью ее производной f(x)f'(x).

Найдем производную функции f(x)f(x):

f(x)=(4x16+cosxcos(8x)) f'(x) = (4x - 16 + \cos x - \cos(8 - x))'

f(x)=4sinx(sin(8x))(8x) f'(x) = 4 - \sin x - (-\sin(8 - x)) \cdot (8 - x)'

f(x)=4sinx+sin(8x)(1)=4sinxsin(8x) f'(x) = 4 - \sin x + \sin(8 - x) \cdot (-1) = 4 - \sin x - \sin(8 - x)

f(x)=4(sinx+sin(8x)) f'(x) = 4 - (\sin x + \sin(8 - x))

Оценим область значений производной. Известно, что область значений функции синус есть отрезок [1,1][-1, 1], то есть 1sinx1-1 \le \sin x \le 1 и 1sin(8x)1-1 \le \sin(8 - x) \le 1.

Для суммы этих двух синусов справедливо следующее двойное неравенство:

1+(1)sinx+sin(8x)1+1 -1 + (-1) \le \sin x + \sin(8 - x) \le 1 + 1

2sinx+sin(8x)2 -2 \le \sin x + \sin(8 - x) \le 2

Используя это, оценим диапазон значений для f(x)f'(x):

Минимальное значение f(x)f'(x) достигается, когда sinx+sin(8x)\sin x + \sin(8 - x) максимально, то есть равно 2: fmin=42=2f'_{\text{min}} = 4 - 2 = 2.

Максимальное значение f(x)f'(x) достигается, когда sinx+sin(8x)\sin x + \sin(8 - x) минимально, то есть равно -2: fmax=4(2)=6f'_{\text{max}} = 4 - (-2) = 6.

Таким образом, для любого действительного x выполняется неравенство 2f(x)62 \le f'(x) \le 6.

Поскольку производная f(x)f'(x) всегда положительна (f(x)>0f'(x) > 0), функция f(x)f(x) является строго возрастающей на всей своей области определения.

Строго монотонная функция может пересекать ось абсцисс (то есть принимать значение 0) не более одного раза. Следовательно, уравнение f(x)=0f(x) = 0 имеет не более одного корня.

Попробуем найти этот корень подбором. Проверим значение x=4x=4:

f(4)=4416+cos4cos(84)=1616+cos4cos4=0 f(4) = 4 \cdot 4 - 16 + \cos 4 - \cos(8 - 4) = 16 - 16 + \cos 4 - \cos 4 = 0

Поскольку f(4)=0f(4) = 0, x=4x=4 является корнем уравнения. Так как корень может быть только один, мы его нашли.

Теперь найдем соответствующее значение y, используя выражение из второго уравнения системы:

y=8x=84=4 y = 8 - x = 8 - 4 = 4

Таким образом, единственным решением данной системы уравнений является пара чисел (4;4)(4; 4).

Ответ: (4;4)(4; 4).

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 9 расположенного на странице 309 к учебнику 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №9 (с. 309), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться