Номер 9, страница 309 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Применение производной для решения уравнений и доказательства неравенств. Глава 5. Производная и её применение - номер 9, страница 309.

9. Решите систему уравнений $\begin{cases} 2x - 2y = \cos y - \cos x, \\ x + y = 8. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x - 2y = \cos y - \cos x, \\ x + y = 8. \end{cases} $$

Для решения системы выразим переменную y из второго уравнения через x:

$$ y = 8 - x $$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:

$$ 2x - 2(8 - x) = \cos(8 - x) - \cos x $$

Упростим левую часть полученного уравнения:

$$ 2x - 16 + 2x = \cos(8 - x) - \cos x $$

$$ 4x - 16 = \cos(8 - x) - \cos x $$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить уравнение вида $f(x) = 0$:

$$ 4x - 16 + \cos x - \cos(8 - x) = 0 $$

Рассмотрим функцию $f(x) = 4x - 16 + \cos x - \cos(8 - x)$. Чтобы определить количество решений уравнения $f(x) = 0$, исследуем эту функцию на монотонность с помощью ее производной $f'(x)$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$$ f'(x) = (4x - 16 + \cos x - \cos(8 - x))' $$

$$ f'(x) = 4 - \sin x - (-\sin(8 - x)) \cdot (8 - x)' $$

$$ f'(x) = 4 - \sin x + \sin(8 - x) \cdot (-1) = 4 - \sin x - \sin(8 - x) $$

$$ f'(x) = 4 - (\sin x + \sin(8 - x)) $$

Оценим область значений производной. Известно, что область значений функции синус есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$ и $-1 \le \sin(8 - x) \le 1$.

Для суммы этих двух синусов справедливо следующее двойное неравенство:

$$ -1 + (-1) \le \sin x + \sin(8 - x) \le 1 + 1 $$

$$ -2 \le \sin x + \sin(8 - x) \le 2 $$

Используя это, оценим диапазон значений для $f'(x)$:

Минимальное значение $f'(x)$ достигается, когда $\sin x + \sin(8 - x)$ максимально, то есть равно 2: $f'_{\text{min}} = 4 - 2 = 2$.

Максимальное значение $f'(x)$ достигается, когда $\sin x + \sin(8 - x)$ минимально, то есть равно -2: $f'_{\text{max}} = 4 - (-2) = 6$.

Таким образом, для любого действительного x выполняется неравенство $2 \le f'(x) \le 6$.

Поскольку производная $f'(x)$ всегда положительна ($f'(x) > 0$), функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения.

Строго монотонная функция может пересекать ось абсцисс (то есть принимать значение 0) не более одного раза. Следовательно, уравнение $f(x) = 0$ имеет не более одного корня.

Попробуем найти этот корень подбором. Проверим значение $x=4$:

$$ f(4) = 4 \cdot 4 - 16 + \cos 4 - \cos(8 - 4) = 16 - 16 + \cos 4 - \cos 4 = 0 $$

Поскольку $f(4) = 0$, $x=4$ является корнем уравнения. Так как корень может быть только один, мы его нашли.

Теперь найдем соответствующее значение y, используя выражение из второго уравнения системы:

$$ y = 8 - x = 8 - 4 = 4 $$

Таким образом, единственным решением данной системы уравнений является пара чисел $(4; 4)$.

Ответ: $(4; 4)$.