Номер 42.2, страница 316 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.2. Найдите область значений функции:

1) $f(x) = \sqrt{x} + 1;$

2) $f(x) = \sqrt{x - 2};$

3) $g(x) = 3 - x^2;$

4) $f(x) = x^2 + 2;$

5) $\varphi(x) = 5 + |x|;$

6) $h(x) = \sqrt{x^2 + 4} - 5;$

7) $f(x) = \sqrt{-x^2};$

8) $f(x) = \sqrt{x - 3} - \sqrt{3 - x};$

9) $f(x) = \sqrt{1 - x^2};$

10) $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}.$

1) f(x) = √x + 1;

Область определения функции $f(x) = \sqrt{x} + 1$ задается условием $x \ge 0$. Значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно: $\sqrt{x} \ge 0$. Прибавляя 1 к обеим частям неравенства, получаем: $\sqrt{x} + 1 \ge 1$. Таким образом, $f(x) \ge 1$. Область значений функции — это все числа, большие или равные 1.
Ответ: $E(f) = [1; +\infty)$.

2) f(x) = √x - 2;

Область определения функции $f(x) = \sqrt{x} - 2$ задается условием $x \ge 0$. Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, то, вычитая 2 из обеих частей неравенства, получаем: $\sqrt{x} - 2 \ge -2$. Таким образом, $f(x) \ge -2$. Область значений функции — это все числа, большие или равные -2.
Ответ: $E(f) = [-2; +\infty)$.

3) g(x) = 3 - x²;

Выражение $x^2$ принимает любые неотрицательные значения, то есть $x^2 \ge 0$. Умножим это неравенство на -1, знак неравенства изменится на противоположный: $-x^2 \le 0$. Теперь прибавим 3 к обеим частям: $3 - x^2 \le 3$. Таким образом, $g(x) \le 3$. Область значений функции — это все числа, меньшие или равные 3.
Ответ: $E(g) = (-\infty; 3]$.

4) f(x) = x² + 2;

Выражение $x^2$ принимает любые неотрицательные значения: $x^2 \ge 0$. Прибавляя 2 к обеим частям неравенства, получаем: $x^2 + 2 \ge 2$. Таким образом, $f(x) \ge 2$. Область значений функции — это все числа, большие или равные 2.
Ответ: $E(f) = [2; +\infty)$.

5) φ(x) = 5 + |x|;

Модуль числа $|x|$ всегда неотрицателен: $|x| \ge 0$. Прибавляя 5 к обеим частям неравенства, получаем: $5 + |x| \ge 5$. Таким образом, $\varphi(x) \ge 5$. Область значений функции — это все числа, большие или равные 5.
Ответ: $E(\varphi) = [5; +\infty)$.

6) h(x) = √(x² + 4) - 5;

Рассмотрим подкоренное выражение $x^2 + 4$. Так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 4 \ge 4$. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем: $\sqrt{x^2 + 4} \ge \sqrt{4}$, то есть $\sqrt{x^2 + 4} \ge 2$. Теперь вычтем 5 из обеих частей: $\sqrt{x^2 + 4} - 5 \ge 2 - 5$. Таким образом, $h(x) \ge -3$. Область значений функции — это все числа, большие или равные -3.
Ответ: $E(h) = [-3; +\infty)$.

7) f(x) = √(-x²);

Функция определена, если подкоренное выражение неотрицательно: $-x^2 \ge 0$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $-x^2 \le 0$. Единственное значение, удовлетворяющее обоим условиям ($-x^2 \ge 0$ и $-x^2 \le 0$), это $-x^2 = 0$, что возможно только при $x=0$. Таким образом, область определения функции состоит из одной точки $x=0$. Найдем значение функции в этой точке: $f(0) = \sqrt{-0^2} = \sqrt{0} = 0$. Область значений состоит из одного числа.
Ответ: $E(f) = \{0\}$.

8) f(x) = √(x - 3) - √(3 - x);

Функция определена, если оба подкоренных выражения неотрицательны. Составим систему неравенств: $ \begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ 3 - x \ge 0 \end{cases} $ Решая ее, получаем: $ \begin{cases} x \ge 3 \\ x \le 3 \end{cases} $ Единственное число, удовлетворяющее системе, это $x=3$. Область определения функции состоит из одной точки $x=3$. Найдем значение функции в этой точке: $f(3) = \sqrt{3-3} - \sqrt{3-3} = \sqrt{0} - \sqrt{0} = 0$. Область значений состоит из одного числа.
Ответ: $E(f) = \{0\}$.

9) f(x) = √(1 - x²);

Функция определена при $1 - x^2 \ge 0$, то есть $x^2 \le 1$, что равносильно $-1 \le x \le 1$. Пусть $y = \sqrt{1 - x^2}$. По определению арифметического квадратного корня, $y \ge 0$. Возведем обе части в квадрат: $y^2 = 1 - x^2$, откуда $x^2 + y^2 = 1$. Это уравнение окружности с центром в (0, 0) и радиусом 1. Условие $y \ge 0$ означает, что мы рассматриваем только верхнюю полуокружность. Наименьшее значение $y$ на этой полуокружности равно 0 (при $x = \pm 1$), а наибольшее равно 1 (при $x=0$).
Ответ: $E(f) = [0; 1]$.

10) f(x) = 1 / (x² + 1);

Рассмотрим знаменатель дроби: $x^2 + 1$. Так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 1 \ge 1$. Знаменатель всегда положителен и больше либо равен 1. Поскольку знаменатель $x^2+1 \ge 1$, то обратная величина будет удовлетворять неравенству $0 < \frac{1}{x^2+1} \le \frac{1}{1}$. Таким образом, $0 < f(x) \le 1$. Максимальное значение, равное 1, достигается при $x=0$. При $x \to \pm\infty$, значение функции стремится к 0, но никогда его не достигает.
Ответ: $E(f) = (0; 1]$.