Номер 1, страница 309 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Докажите неравенство $\cos x \ge 1 - \frac{x^2}{2}$.

Для доказательства неравенства $\cos x \ge 1 - \frac{x^2}{2}$ преобразуем его к виду $\cos x + \frac{x^2}{2} - 1 \ge 0$ и рассмотрим вспомогательную функцию $f(x) = \cos x + \frac{x^2}{2} - 1$. Нашей задачей является доказать, что $f(x) \ge 0$ для всех действительных чисел $x$.

Для исследования функции найдем ее производные.Первая производная функции $f(x)$ равна:$f'(x) = (\cos x + \frac{x^2}{2} - 1)' = -\sin x + \frac{2x}{2} = x - \sin x$.

Чтобы определить знак $f'(x)$, исследуем ее на монотонность. Для этого найдем вторую производную функции $f(x)$ (то есть производную от $f'(x)$):$f''(x) = (x - \sin x)' = 1 - \cos x$.

Мы знаем, что область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$.Следовательно, $f''(x) = 1 - \cos x \ge 1 - 1 = 0$.Поскольку вторая производная $f''(x)$ всегда неотрицательна ($f''(x) \ge 0$), первая производная $f'(x)$ является неубывающей функцией на всей числовой оси.

Найдем значение первой производной в точке $x=0$:$f'(0) = 0 - \sin 0 = 0$.

Так как $f'(x)$ является неубывающей функцией и $f'(0)=0$, мы можем сделать вывод о знаке $f'(x)$:- при $x > 0$ выполняется $f'(x) \ge f'(0)$, то есть $f'(x) \ge 0$;- при $x < 0$ выполняется $f'(x) \le f'(0)$, то есть $f'(x) \le 0$.

Теперь проанализируем поведение исходной функции $f(x)$. Знак ее производной $f'(x)$ говорит о том, что:- на интервале $(-\infty, 0]$ функция $f(x)$ убывает (или, точнее, не возрастает), так как ее производная $f'(x) \le 0$;- на интервале $[0, +\infty)$ функция $f(x)$ возрастает (точнее, не убывает), так как ее производная $f'(x) \ge 0$.

Из этого следует, что в точке $x=0$ функция $f(x)$ достигает своего наименьшего (глобального) значения.

Вычислим это минимальное значение:$f(0) = \cos 0 + \frac{0^2}{2} - 1 = 1 + 0 - 1 = 0$.

Поскольку минимальное значение функции $f(x)$ равно 0, это означает, что для всех действительных $x$ выполняется неравенство $f(x) \ge 0$.Таким образом, $\cos x + \frac{x^2}{2} - 1 \ge 0$, что равносильно доказываемому неравенству $\cos x \ge 1 - \frac{x^2}{2}$.Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $\cos x \ge 1 - \frac{x^2}{2}$ доказано.