Номер 40.19, страница 298 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.19. Периметр равнобедренного треугольника равен 48 см. Какой должна быть длина основания треугольника, чтобы его площадь принимала наибольшее возможное значение?

Пусть дан равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны равны $b$, а длина основания равна $a$.

Периметр $P$ такого треугольника равен $P = a + 2b$. По условию задачи $P = 48$ см. Следовательно, $a + 2b = 48$. Отсюда мы можем выразить длину боковой стороны $b$ через длину основания $a$: $2b = 48 - a$ $b = \frac{48 - a}{2} = 24 - \frac{a}{2}$

Площадь треугольника $S$ можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} a h$, где $h$ — высота, проведенная к основанию. Высота в равнобедренном треугольнике является также и медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка длиной $\frac{a}{2}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, боковой стороной $b$ (гипотенуза) и половиной основания $\frac{a}{2}$ (катет). По теореме Пифагора: $h^2 + (\frac{a}{2})^2 = b^2$ $h^2 = b^2 - (\frac{a}{2})^2$ Подставим выражение для $b$, которое мы нашли ранее: $h^2 = (24 - \frac{a}{2})^2 - (\frac{a}{2})^2$ Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$: $h^2 = \left( \left(24 - \frac{a}{2}\right) - \frac{a}{2} \right) \cdot \left( \left(24 - \frac{a}{2}\right) + \frac{a}{2} \right)$ $h^2 = (24 - a) \cdot 24 = 576 - 24a$ Отсюда $h = \sqrt{576 - 24a}$.

Теперь подставим выражение для высоты $h$ в формулу площади: $S(a) = \frac{1}{2} a \sqrt{576 - 24a}$

Нам нужно найти значение $a$, при котором площадь $S(a)$ будет максимальной. Заметим, что стороны треугольника должны быть положительными: $a > 0$ и $b > 0$. Из $b = 24 - \frac{a}{2} > 0$ следует, что $a < 48$. Также должно выполняться неравенство треугольника: $b+b > a$, т.е. $2b > a$. Подставив $2b = 48-a$, получаем $48-a > a$, что дает $2a < 48$ или $a < 24$. Таким образом, мы ищем максимум на интервале $a \in (0, 24)$.

Чтобы упростить нахождение максимума, будем максимизировать не саму функцию $S(a)$, а ее квадрат $S^2(a)$, так как функция $S(a)$ на рассматриваемом интервале положительна, и ее максимум будет достигаться при том же значении $a$, что и максимум ее квадрата. Пусть $f(a) = S^2(a) = \left(\frac{1}{2} a \sqrt{576 - 24a}\right)^2 = \frac{1}{4} a^2 (576 - 24a) = 144a^2 - 6a^3$.

Для нахождения точки максимума найдем производную функции $f(a)$ и приравняем ее к нулю: $f'(a) = (144a^2 - 6a^3)' = 2 \cdot 144a - 3 \cdot 6a^2 = 288a - 18a^2$. $f'(a) = 0 \implies 288a - 18a^2 = 0$ $18a(16 - a) = 0$ Это уравнение имеет два корня: $a = 0$ и $a = 16$.

Значение $a = 0$ не входит в область определения $a \in (0, 24)$ и соответствует вырожденному треугольнику. Значение $a = 16$ принадлежит нашему интервалу. Чтобы проверить, является ли эта точка точкой максимума, найдем вторую производную: $f''(a) = (288a - 18a^2)' = 288 - 36a$. $f''(16) = 288 - 36 \cdot 16 = 288 - 576 = -288$. Так как $f''(16) < 0$, точка $a = 16$ является точкой максимума для функции $f(a)$, а значит и для функции $S(a)$.

Таким образом, площадь треугольника будет наибольшей, когда длина основания равна 16 см. При этом боковая сторона будет равна $b = 24 - \frac{16}{2} = 24 - 8 = 16$ см. То есть, треугольник с наибольшей площадью при заданном периметре является равносторонним.

Ответ: Длина основания должна быть 16 см.