Страница 297 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном промежутке:

1) $f(x) = \sqrt{100 - x^2}$, $[-6; 8]$;

2) $f(x) = \sqrt{0,5x^2 + 3x + 5}$, $[2; 4]$;

3) $f(x) = (x + 1)^2(x - 2)^2$, $[-2; 4]$;

4) $f(x) = \frac{2}{x} + \frac{x}{2}$, $[-4; -1]$.

1)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = \sqrt{100 - x^2}$ на отрезке $[-6; 8]$, следуем алгоритму:

1. Находим производную функции. Используем правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (\sqrt{100 - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{100 - x^2}} \cdot (100 - x^2)' = \frac{-2x}{2\sqrt{100 - x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{100 - x^2}}.$

2. Находим критические точки функции. Это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0 \implies \frac{-x}{\sqrt{100 - x^2}} = 0 \implies x = 0.$

Точка $x=0$ принадлежит заданному отрезку $[-6; 8]$. Производная не существует, когда знаменатель равен нулю, то есть при $x = \pm10$, но эти точки не принадлежат отрезку $[-6; 8]$.

3. Вычисляем значения функции в найденной критической точке и на концах отрезка:

$f(0) = \sqrt{100 - 0^2} = \sqrt{100} = 10.$

$f(-6) = \sqrt{100 - (-6)^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8.$

$f(8) = \sqrt{100 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6.$

4. Сравниваем полученные значения: $10$, $8$ и $6$. Наибольшее из них $10$, а наименьшее $6$.

Ответ: наибольшее значение $10$, наименьшее значение $6$.

2)

Находим наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \sqrt{0.5x^2 + 3x + 5}$ на отрезке $[2; 4]$.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (\sqrt{0.5x^2 + 3x + 5})' = \frac{1}{2\sqrt{0.5x^2 + 3x + 5}} \cdot (0.5x^2 + 3x + 5)' = \frac{x+3}{2\sqrt{0.5x^2 + 3x + 5}}.$

2. Найдем критические точки. Выражение под корнем $0.5x^2 + 3x + 5$ всегда положительно, так как его дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 0.5 \cdot 5 = 9 - 10 = -1 < 0$ и ветви параболы направлены вверх. Следовательно, производная определена для всех $x$.

Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0 \implies x+3 = 0 \implies x=-3.$

Критическая точка $x=-3$ не принадлежит отрезку $[2; 4]$.

3. Так как на отрезке $[2; 4]$ нет критических точек, наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах этого отрезка. Вычислим значения функции в точках $x=2$ и $x=4$:

$f(2) = \sqrt{0.5(2)^2 + 3(2) + 5} = \sqrt{0.5 \cdot 4 + 6 + 5} = \sqrt{2 + 6 + 5} = \sqrt{13}.$

$f(4) = \sqrt{0.5(4)^2 + 3(4) + 5} = \sqrt{0.5 \cdot 16 + 12 + 5} = \sqrt{8 + 12 + 5} = \sqrt{25} = 5.$

4. Сравниваем полученные значения. Так как $13 < 25$, то $\sqrt{13} < \sqrt{25}$, следовательно $\sqrt{13} < 5$.

Ответ: наибольшее значение $5$, наименьшее значение $\sqrt{13}$.

3)

Находим наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = (x+1)^2(x-2)^2$ на отрезке $[-2; 4]$.

1. Для удобства представим функцию в виде $f(x) = ((x+1)(x-2))^2 = (x^2 - x - 2)^2$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = 2(x^2 - x - 2)^{1} \cdot (x^2 - x - 2)' = 2(x^2 - x - 2)(2x-1).$

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$2(x^2 - x - 2)(2x-1) = 0.$

Отсюда получаем два уравнения:

$x^2 - x - 2 = 0 \implies (x-2)(x+1) = 0$, корни $x_1 = 2, x_2 = -1$.

$2x - 1 = 0 \implies x_3 = 0.5.$

Все три критические точки $-1$, $0.5$, $2$ принадлежат отрезку $[-2; 4]$.

4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

$f(-2) = ((-2)+1)^2((-2)-2)^2 = (-1)^2(-4)^2 = 1 \cdot 16 = 16.$

$f(-1) = ((-1)+1)^2((-1)-2)^2 = 0^2(-3)^2 = 0.$

$f(0.5) = (0.5+1)^2(0.5-2)^2 = (1.5)^2(-1.5)^2 = 2.25 \cdot 2.25 = 5.0625 = \frac{81}{16}.$

$f(2) = (2+1)^2(2-2)^2 = 3^2 \cdot 0^2 = 0.$

$f(4) = (4+1)^2(4-2)^2 = 5^2 \cdot 2^2 = 25 \cdot 4 = 100.$

5. Сравниваем полученные значения: $16, 0, 5.0625, 0, 100$.

Ответ: наибольшее значение $100$, наименьшее значение $0$.

4)

Находим наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \frac{2}{x} + \frac{x}{2}$ на отрезке $[-4; -1]$.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (\frac{2}{x} + \frac{x}{2})' = (2x^{-1} + \frac{1}{2}x)' = -2x^{-2} + \frac{1}{2} = -\frac{2}{x^2} + \frac{1}{2}.$

2. Найдем критические точки. Производная существует на всем заданном отрезке (так как $x=0$ не входит в него). Приравняем производную к нулю:

$-\frac{2}{x^2} + \frac{1}{2} = 0 \implies \frac{1}{2} = \frac{2}{x^2} \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2.$

Из этих двух точек отрезку $[-4; -1]$ принадлежит только $x=-2$.

3. Вычислим значения функции в критической точке $x=-2$ и на концах отрезка $x=-4$ и $x=-1$:

$f(-4) = \frac{2}{-4} + \frac{-4}{2} = -0.5 - 2 = -2.5.$

$f(-2) = \frac{2}{-2} + \frac{-2}{2} = -1 - 1 = -2.$

$f(-1) = \frac{2}{-1} + \frac{-1}{2} = -2 - 0.5 = -2.5.$

4. Сравниваем полученные значения: $-2.5$, $-2$ и $-2.5$.

Ответ: наибольшее значение $-2$, наименьшее значение $-2.5$.

40.4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном промежутке:

1) $f(x) = \sqrt{9 + 8x - x^2}$, $[0; 7]$;

2) $f(x) = \frac{4x}{x^2 + 1}$, $[-2; 4];$

3) $f(x) = (x-1)^2(x+5)^2$, $[-3; 2];$

4) $f(x) = -x - \frac{9}{x}$, $[-6; -1].$

1) $f(x) = \sqrt{9 + 8x - x^2}$ на промежутке $[0; 7]$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку. Затем следует выбрать из полученных значений наибольшее и наименьшее.

Сначала найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $9 + 8x - x^2 \ge 0$. Умножив на -1, получим неравенство $x^2 - 8x - 9 \le 0$. Корнями уравнения $x^2 - 8x - 9 = 0$ являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 9$. Таким образом, область определения функции $D(f) = [-1; 9]$. Указанный промежуток $[0; 7]$ полностью входит в область определения.

Найдем производную функции:$f'(x) = (\sqrt{9 + 8x - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{9 + 8x - x^2}} \cdot (8 - 2x) = \frac{4 - x}{\sqrt{9 + 8x - x^2}}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$. Это возможно, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен. $4 - x = 0$, откуда $x = 4$. Эта точка принадлежит промежутку $[0; 7]$.

Теперь вычислим значения функции в критической точке $x=4$ и на концах промежутка $x=0$ и $x=7$:
$f(0) = \sqrt{9 + 8 \cdot 0 - 0^2} = \sqrt{9} = 3$
$f(4) = \sqrt{9 + 8 \cdot 4 - 4^2} = \sqrt{9 + 32 - 16} = \sqrt{25} = 5$
$f(7) = \sqrt{9 + 8 \cdot 7 - 7^2} = \sqrt{9 + 56 - 49} = \sqrt{16} = 4$

Сравнивая полученные значения {3, 5, 4}, заключаем, что $min_{x \in [0;7]} f(x) = 3$ и $max_{x \in [0;7]} f(x) = 5$.

Ответ: наименьшее значение функции равно 3, наибольшее значение равно 5.

2) $f(x) = \frac{4x}{x^2 + 1}$ на промежутке $[-2; 4]$

Областью определения функции являются все действительные числа, так как знаменатель $x^2 + 1$ никогда не обращается в ноль. Найдем производную функции по правилу дифференцирования частного:
$f'(x) = \frac{(4x)'(x^2+1) - 4x(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} = \frac{4(x^2+1) - 4x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{4x^2+4-8x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{4-4x^2}{(x^2+1)^2}$.

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$\frac{4-4x^2}{(x^2+1)^2} = 0 \implies 4-4x^2 = 0 \implies x^2=1 \implies x_1=1, x_2=-1$.
Обе критические точки $x=1$ и $x=-1$ принадлежат заданному промежутку $[-2; 4]$.

Вычислим значения функции в критических точках и на концах промежутка:
$f(-2) = \frac{4(-2)}{(-2)^2+1} = \frac{-8}{5} = -1.6$
$f(-1) = \frac{4(-1)}{(-1)^2+1} = \frac{-4}{2} = -2$
$f(1) = \frac{4(1)}{1^2+1} = \frac{4}{2} = 2$
$f(4) = \frac{4(4)}{4^2+1} = \frac{16}{17}$

Сравнивая полученные значения {-1.6, -2, 2, 16/17}, находим, что $min_{x \in [-2;4]} f(x) = -2$ и $max_{x \in [-2;4]} f(x) = 2$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -2, наибольшее значение равно 2.

3) $f(x) = (x - 1)^2(x + 5)^2$ на промежутке $[-3; 2]$

Функция является многочленом, она определена и непрерывна на всей числовой прямой. Для удобства дифференцирования представим функцию в виде $f(x) = ((x-1)(x+5))^2 = (x^2+4x-5)^2$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = 2(x^2+4x-5) \cdot (x^2+4x-5)' = 2(x^2+4x-5)(2x+4) = 4(x+2)(x^2+4x-5)$.

Найдем критические точки из уравнения $f'(x) = 0$: $4(x+2)(x^2+4x-5)=0$.
Равенство верно, если $x+2=0$ (т.е. $x=-2$) или $x^2+4x-5=0$. Корнями квадратного уравнения являются $x=1$ и $x=-5$.
Таким образом, критические точки функции: -5, -2, 1. Из них промежутку $[-3; 2]$ принадлежат $x=-2$ и $x=1$.

Вычислим значения функции в этих критических точках и на концах отрезка $x=-3$ и $x=2$:
$f(-3) = ((-3)-1)^2((-3)+5)^2 = (-4)^2 \cdot 2^2 = 16 \cdot 4 = 64$
$f(-2) = ((-2)-1)^2((-2)+5)^2 = (-3)^2 \cdot 3^2 = 9 \cdot 9 = 81$
$f(1) = (1-1)^2(1+5)^2 = 0^2 \cdot 6^2 = 0$
$f(2) = (2-1)^2(2+5)^2 = 1^2 \cdot 7^2 = 49$

Сравнивая значения {64, 81, 0, 49}, получаем, что $min_{x \in [-3;2]} f(x) = 0$ и $max_{x \in [-3;2]} f(x) = 81$.

Ответ: наименьшее значение функции равно 0, наибольшее значение равно 81.

4) $f(x) = -x - \frac{9}{x}$ на промежутке $[-6; -1]$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Указанный промежуток $[-6; -1]$ входит в область определения.Найдем производную функции:
$f'(x) = (-x - 9x^{-1})' = -1 - 9(-1)x^{-2} = -1 + \frac{9}{x^2}$.

Найдем критические точки из условия $f'(x)=0$:
$-1 + \frac{9}{x^2} = 0 \implies \frac{9}{x^2} = 1 \implies x^2=9$, откуда $x_1=3, x_2=-3$.
Из этих точек только $x=-3$ принадлежит промежутку $[-6; -1]$.

Вычислим значения функции в критической точке $x=-3$ и на концах промежутка $x=-6$ и $x=-1$:
$f(-6) = -(-6) - \frac{9}{-6} = 6 + 1.5 = 7.5$
$f(-3) = -(-3) - \frac{9}{-3} = 3 + 3 = 6$
$f(-1) = -(-1) - \frac{9}{-1} = 1 + 9 = 10$

Среди значений {7.5, 6, 10} наименьшее равно 6, а наибольшее равно 10.Следовательно, $min_{x \in [-6;-1]} f(x) = 6$ и $max_{x \in [-6;-1]} f(x) = 10$.

Ответ: наименьшее значение функции равно 6, наибольшее значение равно 10.

40.5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном промежутке:

1) $f(x) = \sin x - \cos x$, $[0; \pi];$

2) $f(x) = \sin \left(4x - \frac{\pi}{3}\right)$, $\left[0; \frac{\pi}{6}\right];$

3) $f(x) = x\sqrt{3} - \cos 2x$, $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right].$

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = \sin x - \cos x$ на отрезке $[0; \pi]$, найдем ее производную и критические точки.
Производная функции: $f'(x) = (\sin x - \cos x)' = \cos x - (-\sin x) = \cos x + \sin x$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $\cos x + \sin x = 0$
$\sin x = -\cos x$
Разделив обе части на $\cos x$ (при условии $\cos x \neq 0$), получаем: $\tan x = -1$
В промежутке $[0; \pi]$ это уравнение имеет один корень: $x = \frac{3\pi}{4}$.
Теперь вычислим значения функции в этой критической точке и на концах отрезка $[0; \pi]$:
$f(0) = \sin 0 - \cos 0 = 0 - 1 = -1$.
$f(\pi) = \sin \pi - \cos \pi = 0 - (-1) = 1$.
$f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) - \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.
Сравнивая полученные значения $f(0)=-1$, $f(\pi)=1$ и $f\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\sqrt{2}$, находим наибольшее и наименьшее значения.
Наибольшее значение: $\max_{x \in [0; \pi]} f(x) = \sqrt{2}$.
Наименьшее значение: $\min_{x \in [0; \pi]} f(x) = -1$.
Ответ: наибольшее значение функции равно $\sqrt{2}$, наименьшее значение равно $-1$.

2) Для функции $f(x) = \sin\left(4x - \frac{\pi}{3}\right)$ на отрезке $\left[0; \frac{\pi}{6}\right]$ найдем производную.
$f'(x) = \left(\sin\left(4x - \frac{\pi}{3}\right)\right)' = \cos\left(4x - \frac{\pi}{3}\right) \cdot (4x)' = 4\cos\left(4x - \frac{\pi}{3}\right)$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $4\cos\left(4x - \frac{\pi}{3}\right) = 0$
$\cos\left(4x - \frac{\pi}{3}\right) = 0$
$4x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$4x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} + k\pi = \frac{5\pi}{6} + k\pi$
$x = \frac{5\pi}{24} + \frac{k\pi}{4}$.
Проверим, принадлежат ли критические точки отрезку $\left[0; \frac{\pi}{6}\right]$. Заметим, что $\frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{24}$. Наш отрезок $\left[0; \frac{4\pi}{24}\right]$. При $k=0$, $x = \frac{5\pi}{24}$, что больше, чем $\frac{4\pi}{24}$, и не принадлежит отрезку. При $k < 0$, значения $x$ будут отрицательными, также не принадлежащими отрезку. При $k > 0$, значения $x$ будут еще больше. Следовательно, на интервале $\left(0; \frac{\pi}{6}\right)$ критических точек нет.
Значит, наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка.
Вычислим значения функции в точках $x=0$ и $x=\frac{\pi}{6}$:
$f(0) = \sin\left(4 \cdot 0 - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Наибольшее значение функции равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$, а наименьшее равно $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: наибольшее значение функции равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$, наименьшее значение равно $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x\sqrt{3} - \cos(2x)$ на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$.
Сначала найдем производную функции: $f'(x) = (x\sqrt{3} - \cos(2x))' = \sqrt{3} - (-\sin(2x) \cdot 2) = \sqrt{3} + 2\sin(2x)$.
Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x)=0$: $\sqrt{3} + 2\sin(2x) = 0$
$2\sin(2x) = -\sqrt{3}$
$\sin(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Решения этого уравнения имеют вид: $2x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$ или $2x = \pi - \left(-\frac{\pi}{3}\right) + 2k\pi = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = -\frac{\pi}{6} + k\pi$ или $x = \frac{2\pi}{3} + k\pi$.
Отберем корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$.
Из первой серии корней при $k=0$ получаем $x = -\frac{\pi}{6}$, что принадлежит отрезку.
Из второй серии корней при $k=-1$ получаем $x = \frac{2\pi}{3} - \pi = -\frac{\pi}{3}$, что также принадлежит отрезку.
Других корней в заданном отрезке нет. Итак, у нас есть две критические точки: $x_1 = -\frac{\pi}{6}$ и $x_2 = -\frac{\pi}{3}$.
Вычислим значения функции в этих точках и на концах отрезка:
На концах отрезка:
$f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \left(-\frac{\pi}{2}\right)\sqrt{3} - \cos\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) = -\frac{\pi\sqrt{3}}{2} - \cos(-\pi) = -\frac{\pi\sqrt{3}}{2} - (-1) = 1 - \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$.
$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2}\sqrt{3} - \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi\sqrt{3}}{2} - \cos(\pi) = \frac{\pi\sqrt{3}}{2} - (-1) = 1 + \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$.
В критических точках:
$f\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \left(-\frac{\pi}{6}\right)\sqrt{3} - \cos\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) = -\frac{\pi\sqrt{3}}{6} - \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\pi\sqrt{3}}{6} - \frac{1}{2}$.
$f\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \left(-\frac{\pi}{3}\right)\sqrt{3} - \cos\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) = -\frac{\pi\sqrt{3}}{3} - \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\pi\sqrt{3}}{3} - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - \frac{\pi\sqrt{3}}{3}$.
Сравним полученные четыре значения.
Очевидно, что $1 + \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ является наибольшим значением, так как это единственное большое положительное число.
Среди остальных трех отрицательных значений $1 - \frac{\pi\sqrt{3}}{2} \approx -1.72$, $-\frac{\pi\sqrt{3}}{6} - \frac{1}{2} \approx -1.41$ и $\frac{1}{2} - \frac{\pi\sqrt{3}}{3} \approx -1.31$, наименьшим является $1 - \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: наибольшее значение функции равно $1 + \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$, наименьшее значение равно $1 - \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$.

40.6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном промежутке:

1) $f(x) = \sqrt{3} \sin x + \cos x, [0; \pi];$

2) $f(x) = 2\cos \left( 4x + \frac{\pi}{6} \right), \left[ -\frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{3} \right].$

1) Дана функция $f(x) = \sqrt{3} \sin x + \cos x$ на промежутке $[0; \pi]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (\sqrt{3} \sin x + \cos x)' = \sqrt{3} \cos x - \sin x$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$\sqrt{3} \cos x - \sin x = 0$

$\sqrt{3} \cos x = \sin x$

Предполагая, что $\cos x \neq 0$, разделим обе части уравнения на $\cos x$:

$\tan x = \sqrt{3}$

Общее решение этого уравнения: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

(Если бы $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$. Уравнение $\sqrt{3} \cdot 0 = \pm 1$ неверно, значит, наши действия правомерны).

3. Определим, какие из критических точек принадлежат промежутку $[0; \pi]$.

При $n=0$, $x = \frac{\pi}{3}$. Эта точка принадлежит отрезку $[0; \pi]$.

При других целых значениях $n$ точки выходят за пределы указанного отрезка.

4. Вычислим значения функции в найденной критической точке и на концах промежутка.

Значение на левом конце промежутка:

$f(0) = \sqrt{3} \sin(0) + \cos(0) = \sqrt{3} \cdot 0 + 1 = 1$.

Значение на правом конце промежутка:

$f(\pi) = \sqrt{3} \sin(\pi) + \cos(\pi) = \sqrt{3} \cdot 0 + (-1) = -1$.

Значение в критической точке:

$f(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} \sin(\frac{\pi}{3}) + \cos(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

5. Сравним полученные значения: $1$, $-1$, $2$.

Наибольшее значение функции на отрезке $[0; \pi]$ равно $2$.

Наименьшее значение функции на отрезке $[0; \pi]$ равно $-1$.

Ответ: наибольшее значение $2$, наименьшее значение $-1$.

2) Дана функция $f(x) = 2\cos(4x + \frac{\pi}{6})$ на промежутке $[-\frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{3}]$.

Область значений функции $y = \cos t$ есть отрезок $[-1; 1]$. Следовательно, для функции $f(x) = 2\cos(\dots)$ область значений есть отрезок $[-2; 2]$. Таким образом, наибольшее возможное значение функции равно $2$, а наименьшее $-2$.

Выясним, достигаются ли эти значения на заданном промежутке. Для этого определим, в каких пределах изменяется аргумент косинуса $t = 4x + \frac{\pi}{6}$, когда $x$ пробегает отрезок $[-\frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{3}]$.

1. Найдем значение аргумента $t$ на концах отрезка для $x$.

При $x = -\frac{\pi}{12}$ (левая граница):

$t_{min} = 4(-\frac{\pi}{12}) + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = -\frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$.

При $x = \frac{\pi}{3}$ (правая граница):

$t_{max} = 4(\frac{\pi}{3}) + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{8\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$.

Итак, когда $x$ изменяется на отрезке $[-\frac{\pi}{12}; \frac{\pi}{3}]$, аргумент $t = 4x + \frac{\pi}{6}$ изменяется на отрезке $[-\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}]$.

2. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $g(t) = 2\cos t$ на отрезке $[-\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}]$.

Наибольшее значение функции $g(t)$ равно $2$. Оно достигается при $\cos t = 1$, то есть при $t = 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Проверим, есть ли такие значения $t$ в отрезке $[-\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}]$. При $n=0$, $t=0$. Так как $0 \in [-\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}]$, то наибольшее значение функции достигается и равно $2$.

Наименьшее значение функции $g(t)$ равно $-2$. Оно достигается при $\cos t = -1$, то есть при $t = \pi + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Проверим, есть ли такие значения $t$ в отрезке $[-\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}]$. При $n=0$, $t=\pi$. Так как $\pi \in [-\frac{\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}]$, то наименьшее значение функции достигается и равно $-2$.

Ответ: наибольшее значение $2$, наименьшее значение $-2$.

40.7. Представьте число 8 в виде суммы двух неотрицательных чисел так, чтобы произведение куба одного из этих чисел на второе число было наибольшим.

Пусть искомые два неотрицательных числа — это $x$ и $y$.

Согласно условию задачи, их сумма равна 8:

$x + y = 8$

Также, по условию, числа являются неотрицательными, следовательно:

$x \ge 0$ и $y \ge 0$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 8 - x$

Поскольку $y \ge 0$, то $8 - x \ge 0$, что означает $x \le 8$. Таким образом, переменная $x$ должна находиться в промежутке $[0, 8]$.

Нам необходимо максимизировать произведение куба одного из чисел на второе. Пусть число, возводимое в куб, — это $x$. Обозначим это произведение как функцию $f(x)$:

$f(x) = x^3 \cdot y$

Подставим выражение для $y$:

$f(x) = x^3 (8 - x) = 8x^3 - x^4$

Чтобы найти наибольшее значение функции $f(x)$ на отрезке $[0, 8]$, найдем ее производную:

$f'(x) = (8x^3 - x^4)' = 24x^2 - 4x^3$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$24x^2 - 4x^3 = 0$

$4x^2(6 - x) = 0$

Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$. Обе точки принадлежат отрезку $[0, 8]$.

Теперь найдем значения функции $f(x)$ в критических точках и на концах отрезка $[0, 8]$:

• При $x = 0$: $f(0) = 0^3 \cdot (8 - 0) = 0$
• При $x = 6$: $f(6) = 6^3 \cdot (8 - 6) = 216 \cdot 2 = 432$
• При $x = 8$: $f(8) = 8^3 \cdot (8 - 8) = 512 \cdot 0 = 0$

Сравнивая полученные значения, видим, что наибольшее значение функции $f(x)$ равно 432 и достигается при $x=6$.

Теперь найдем второе число $y$:

$y = 8 - x = 8 - 6 = 2$

Таким образом, искомые числа — это 6 и 2. Проверим, что это представление удовлетворяет условию: $6+2=8$. Произведение куба первого числа на второе равно $6^3 \cdot 2 = 432$. Если бы мы возводили в куб второе число, произведение было бы $2^3 \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48$, что меньше 432. Следовательно, для получения наибольшего произведения нужно возводить в куб большее из чисел.

Число 8 нужно представить в виде суммы чисел 6 и 2.

Ответ: 8 = 6 + 2.

40.8. Представьте число 12 в виде суммы двух неотрицательных чисел так, чтобы произведение квадрата одного из этих чисел на удвоенное второе число было наибольшим.

Пусть искомые два неотрицательных числа — это $x$ и $y$.

По условию задачи, их сумма равна 12:

$x + y = 12$

Также по условию числа $x$ и $y$ неотрицательные, то есть $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Нам нужно найти наибольшее значение произведения квадрата одного из этих чисел на удвоенное второе число. Обозначим это произведение как $P$. Мы можем выбрать, какое из чисел возводить в квадрат.

Допустим, мы возводим в квадрат число $x$. Тогда произведение, которое нужно максимизировать, имеет вид:

$P = x^2 \cdot (2y)$

Выразим $y$ через $x$ из условия $x + y = 12$:

$y = 12 - x$

Подставим это выражение в формулу для $P$, чтобы получить функцию от одной переменной $x$:

$P(x) = x^2 \cdot 2(12 - x) = 24x^2 - 2x^3$

Поскольку $x \ge 0$ и $y = 12 - x \ge 0$, то переменная $x$ может принимать значения в отрезке $[0, 12]$. Нам нужно найти наибольшее значение функции $P(x)$ на этом отрезке.

Для этого найдем производную функции $P(x)$:

$P'(x) = (24x^2 - 2x^3)' = 48x - 6x^2$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$48x - 6x^2 = 0$

$6x(8 - x) = 0$

Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 8$. Обе точки принадлежат отрезку $[0, 12]$.

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, нужно вычислить ее значения в критических точках и на концах отрезка:

• При $x = 0$: $P(0) = 24 \cdot 0^2 - 2 \cdot 0^3 = 0$.
• При $x = 8$: $P(8) = 24 \cdot 8^2 - 2 \cdot 8^3 = 24 \cdot 64 - 2 \cdot 512 = 1536 - 1024 = 512$.
• При $x = 12$: $P(12) = 24 \cdot 12^2 - 2 \cdot 12^3 = 2 \cdot 12^2(12 - 12) = 0$.

Сравнивая полученные значения, видим, что наибольшее значение функции равно 512 и достигается при $x = 8$.

Если $x = 8$, то второе число $y = 12 - 8 = 4$.

Таким образом, искомые числа — это 8 и 4. Проверим, что это действительно дает наибольшее произведение. Сумма чисел: $8 + 4 = 12$. Возможные произведения:

1. Квадрат первого числа на удвоенное второе: $8^2 \cdot (2 \cdot 4) = 64 \cdot 8 = 512$.

2. Квадрат второго числа на удвоенное первое: $4^2 \cdot (2 \cdot 8) = 16 \cdot 16 = 256$.

Наибольшее из этих двух произведений равно 512. Наш анализ с помощью производной показал, что это и есть максимально возможное значение для любой пары неотрицательных чисел с суммой 12.

Следовательно, число 12 нужно представить в виде суммы чисел 8 и 4.

Ответ: 12 = 8 + 4.

40.9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном промежутке:

1) $f(x) = 2\sin 2x + \cos 4x, \left[0; \frac{\pi}{3}\right];$

2) $f(x) = \sqrt{3} \sin 2x + \cos 2x - 5, \left[0; \frac{\pi}{3}\right];$

3) $f(x) = 2\sin x + \sin 2x, \left[0; \frac{3\pi}{2}\right].$

1) $f(x) = 2\sin 2x + \cos 4x$, на промежутке $[0; \frac{\pi}{3}]$

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, нужно найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее.

1. Найдем производную функции. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 4x = 1 - 2\sin^2 2x$, чтобы упростить функцию:$f(x) = 2\sin 2x + 1 - 2\sin^2 2x$.Сделаем замену $t = \sin 2x$. Так как $x \in [0; \frac{\pi}{3}]$, то $2x \in [0; \frac{2\pi}{3}]$. На этом промежутке $\sin 2x$ принимает значения от 0 до 1, то есть $t \in [0; 1]$.Рассмотрим функцию $g(t) = -2t^2 + 2t + 1$ на отрезке $[0; 1]$.Найдем производную $g'(t)$:$g'(t) = -4t + 2$.Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:$-4t + 2 = 0 \implies 4t = 2 \implies t = \frac{1}{2}$.Точка $t = \frac{1}{2}$ принадлежит отрезку $[0; 1]$.

2. Вернемся к переменной $x$. $t = \sin 2x = \frac{1}{2}$.$2x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.$x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.Из всех этих решений выберем те, что принадлежат отрезку $[0; \frac{\pi}{3}]$.При $k=0$, $x = \frac{\pi}{12}$. Этот корень принадлежит отрезку $[0; \frac{\pi}{3}]$.Других корней в этом отрезке нет.

Также необходимо проверить точки, где производная $f'(x)$ равна нулю по другой причине.$f'(x) = (2\sin 2x + \cos 4x)' = 4\cos 2x - 4\sin 4x = 4\cos 2x - 8\sin 2x \cos 2x = 4\cos 2x(1 - 2\sin 2x)$.$f'(x)=0$ если $\cos 2x=0$ или $1 - 2\sin 2x=0$.$\cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$.При $k=0$, $x=\frac{\pi}{4}$, что принадлежит отрезку $[0; \frac{\pi}{3}]$.Случай $1 - 2\sin 2x=0$ мы уже рассмотрели, он дает $x=\frac{\pi}{12}$.

3. Вычислим значения функции в критических точках $x=\frac{\pi}{12}$, $x=\frac{\pi}{4}$ и на концах отрезка $x=0$, $x=\frac{\pi}{3}$.

• $f(0) = 2\sin(0) + \cos(0) = 0 + 1 = 1$.
• $f(\frac{\pi}{12}) = 2\sin(2 \cdot \frac{\pi}{12}) + \cos(4 \cdot \frac{\pi}{12}) = 2\sin(\frac{\pi}{6}) + \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$.
• $f(\frac{\pi}{4}) = 2\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) + \cos(4 \cdot \frac{\pi}{4}) = 2\sin(\frac{\pi}{2}) + \cos(\pi) = 2 \cdot 1 - 1 = 1$.
• $f(\frac{\pi}{3}) = 2\sin(2 \cdot \frac{\pi}{3}) + \cos(4 \cdot \frac{\pi}{3}) = 2\sin(\frac{2\pi}{3}) + \cos(\frac{4\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} = \sqrt{3} - \frac{1}{2} \approx 1.732 - 0.5 = 1.232$.

Сравнивая полученные значения $1$, $1.5$, $1$ и $\sqrt{3} - \frac{1}{2}$, находим, что наибольшее значение равно $\frac{3}{2}$, а наименьшее равно $1$.

Ответ: наибольшее значение функции $f_{max} = \frac{3}{2}$, наименьшее значение $f_{min} = 1$.

2) $f(x) = \sqrt{3} \sin 2x + \cos 2x - 5$, на промежутке $[0; \frac{\pi}{3}]$

1. Найдем производную функции $f(x)$:$f'(x) = (\sqrt{3} \sin 2x + \cos 2x - 5)' = \sqrt{3} \cdot \cos 2x \cdot 2 - \sin 2x \cdot 2 = 2\sqrt{3}\cos 2x - 2\sin 2x$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:$2\sqrt{3}\cos 2x - 2\sin 2x = 0$.$\sqrt{3}\cos 2x = \sin 2x$.Разделим обе части на $\cos 2x$ (это возможно, так как если $\cos 2x = 0$, то и $\sin 2x = 0$, что невозможно одновременно):$\tan 2x = \sqrt{3}$.$2x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.Выберем корни, принадлежащие отрезку $[0; \frac{\pi}{3}]$.При $k=0$, $x = \frac{\pi}{6}$. Этот корень принадлежит отрезку.При других значениях $k$ корни не попадают в заданный промежуток.

3. Вычислим значения функции в критической точке $x=\frac{\pi}{6}$ и на концах отрезка $x=0$, $x=\frac{\pi}{3}$.

• $f(0) = \sqrt{3} \sin(0) + \cos(0) - 5 = \sqrt{3} \cdot 0 + 1 - 5 = -4$.
• $f(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} \sin(2 \cdot \frac{\pi}{6}) + \cos(2 \cdot \frac{\pi}{6}) - 5 = \sqrt{3} \sin(\frac{\pi}{3}) + \cos(\frac{\pi}{3}) - 5 = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} - 5 = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} - 5 = 2 - 5 = -3$.
• $f(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} \sin(2 \cdot \frac{\pi}{3}) + \cos(2 \cdot \frac{\pi}{3}) - 5 = \sqrt{3} \sin(\frac{2\pi}{3}) + \cos(\frac{2\pi}{3}) - 5 = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} - 5 = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} - 5 = 1 - 5 = -4$.

Сравнивая полученные значения $-4$, $-3$ и $-4$, находим, что наибольшее значение равно $-3$, а наименьшее равно $-4$.

Ответ: наибольшее значение функции $f_{max} = -3$, наименьшее значение $f_{min} = -4$.

3) $f(x) = 2\sin x + \sin 2x$, на промежутке $[0; \frac{3\pi}{2}]$

1. Найдем производную функции $f(x)$:$f'(x) = (2\sin x + \sin 2x)' = 2\cos x + 2\cos 2x$.Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:$f'(x) = 2\cos x + 2(2\cos^2 x - 1) = 4\cos^2 x + 2\cos x - 2$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:$4\cos^2 x + 2\cos x - 2 = 0$.$2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$.Сделаем замену $t = \cos x$, где $t \in [-1; 1]$.$2t^2 + t - 1 = 0$.Решим квадратное уравнение: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$.$t_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$, $t_2 = \frac{-1 - 3}{4} = -1$.Возвращаемся к переменной $x$:

a) $\cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.В промежуток $[0; \frac{3\pi}{2}]$ попадает корень $x = \frac{\pi}{3}$.

b) $\cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.В промежуток $[0; \frac{3\pi}{2}]$ попадает корень $x = \pi$.

Итак, критические точки на данном отрезке: $x=\frac{\pi}{3}$ и $x=\pi$.

3. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка $x=0$, $x=\frac{3\pi}{2}$.

• $f(0) = 2\sin(0) + \sin(0) = 0$.
• $f(\frac{\pi}{3}) = 2\sin(\frac{\pi}{3}) + \sin(2 \cdot \frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin(\frac{2\pi}{3}) = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
• $f(\pi) = 2\sin(\pi) + \sin(2\pi) = 0 + 0 = 0$.
• $f(\frac{3\pi}{2}) = 2\sin(\frac{3\pi}{2}) + \sin(2 \cdot \frac{3\pi}{2}) = 2(-1) + \sin(3\pi) = -2 + 0 = -2$.

Сравнивая полученные значения $0$, $\frac{3\sqrt{3}}{2}$, $0$ и $-2$, находим, что наибольшее значение равно $\frac{3\sqrt{3}}{2}$, а наименьшее равно $-2$. ($\frac{3\sqrt{3}}{2} \approx \frac{3 \cdot 1.732}{2} \approx 2.598$).

Ответ: наибольшее значение функции $f_{max} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$, наименьшее значение $f_{min} = -2$.