Номер 40.4, страница 297 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном промежутке:

1) $f(x) = \sqrt{9 + 8x - x^2}$, $[0; 7]$;

2) $f(x) = \frac{4x}{x^2 + 1}$, $[-2; 4];$

3) $f(x) = (x-1)^2(x+5)^2$, $[-3; 2];$

4) $f(x) = -x - \frac{9}{x}$, $[-6; -1].$

1) $f(x) = \sqrt{9 + 8x - x^2}$ на промежутке $[0; 7]$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку. Затем следует выбрать из полученных значений наибольшее и наименьшее.

Сначала найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $9 + 8x - x^2 \ge 0$. Умножив на -1, получим неравенство $x^2 - 8x - 9 \le 0$. Корнями уравнения $x^2 - 8x - 9 = 0$ являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 9$. Таким образом, область определения функции $D(f) = [-1; 9]$. Указанный промежуток $[0; 7]$ полностью входит в область определения.

Найдем производную функции:$f'(x) = (\sqrt{9 + 8x - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{9 + 8x - x^2}} \cdot (8 - 2x) = \frac{4 - x}{\sqrt{9 + 8x - x^2}}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$. Это возможно, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен. $4 - x = 0$, откуда $x = 4$. Эта точка принадлежит промежутку $[0; 7]$.

Теперь вычислим значения функции в критической точке $x=4$ и на концах промежутка $x=0$ и $x=7$:
$f(0) = \sqrt{9 + 8 \cdot 0 - 0^2} = \sqrt{9} = 3$
$f(4) = \sqrt{9 + 8 \cdot 4 - 4^2} = \sqrt{9 + 32 - 16} = \sqrt{25} = 5$
$f(7) = \sqrt{9 + 8 \cdot 7 - 7^2} = \sqrt{9 + 56 - 49} = \sqrt{16} = 4$

Сравнивая полученные значения {3, 5, 4}, заключаем, что $min_{x \in [0;7]} f(x) = 3$ и $max_{x \in [0;7]} f(x) = 5$.

Ответ: наименьшее значение функции равно 3, наибольшее значение равно 5.

2) $f(x) = \frac{4x}{x^2 + 1}$ на промежутке $[-2; 4]$

Областью определения функции являются все действительные числа, так как знаменатель $x^2 + 1$ никогда не обращается в ноль. Найдем производную функции по правилу дифференцирования частного:
$f'(x) = \frac{(4x)'(x^2+1) - 4x(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} = \frac{4(x^2+1) - 4x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{4x^2+4-8x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{4-4x^2}{(x^2+1)^2}$.

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$\frac{4-4x^2}{(x^2+1)^2} = 0 \implies 4-4x^2 = 0 \implies x^2=1 \implies x_1=1, x_2=-1$.
Обе критические точки $x=1$ и $x=-1$ принадлежат заданному промежутку $[-2; 4]$.

Вычислим значения функции в критических точках и на концах промежутка:
$f(-2) = \frac{4(-2)}{(-2)^2+1} = \frac{-8}{5} = -1.6$
$f(-1) = \frac{4(-1)}{(-1)^2+1} = \frac{-4}{2} = -2$
$f(1) = \frac{4(1)}{1^2+1} = \frac{4}{2} = 2$
$f(4) = \frac{4(4)}{4^2+1} = \frac{16}{17}$

Сравнивая полученные значения {-1.6, -2, 2, 16/17}, находим, что $min_{x \in [-2;4]} f(x) = -2$ и $max_{x \in [-2;4]} f(x) = 2$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -2, наибольшее значение равно 2.

3) $f(x) = (x - 1)^2(x + 5)^2$ на промежутке $[-3; 2]$

Функция является многочленом, она определена и непрерывна на всей числовой прямой. Для удобства дифференцирования представим функцию в виде $f(x) = ((x-1)(x+5))^2 = (x^2+4x-5)^2$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = 2(x^2+4x-5) \cdot (x^2+4x-5)' = 2(x^2+4x-5)(2x+4) = 4(x+2)(x^2+4x-5)$.

Найдем критические точки из уравнения $f'(x) = 0$: $4(x+2)(x^2+4x-5)=0$.
Равенство верно, если $x+2=0$ (т.е. $x=-2$) или $x^2+4x-5=0$. Корнями квадратного уравнения являются $x=1$ и $x=-5$.
Таким образом, критические точки функции: -5, -2, 1. Из них промежутку $[-3; 2]$ принадлежат $x=-2$ и $x=1$.

Вычислим значения функции в этих критических точках и на концах отрезка $x=-3$ и $x=2$:
$f(-3) = ((-3)-1)^2((-3)+5)^2 = (-4)^2 \cdot 2^2 = 16 \cdot 4 = 64$
$f(-2) = ((-2)-1)^2((-2)+5)^2 = (-3)^2 \cdot 3^2 = 9 \cdot 9 = 81$
$f(1) = (1-1)^2(1+5)^2 = 0^2 \cdot 6^2 = 0$
$f(2) = (2-1)^2(2+5)^2 = 1^2 \cdot 7^2 = 49$

Сравнивая значения {64, 81, 0, 49}, получаем, что $min_{x \in [-3;2]} f(x) = 0$ и $max_{x \in [-3;2]} f(x) = 81$.

Ответ: наименьшее значение функции равно 0, наибольшее значение равно 81.

4) $f(x) = -x - \frac{9}{x}$ на промежутке $[-6; -1]$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Указанный промежуток $[-6; -1]$ входит в область определения.Найдем производную функции:
$f'(x) = (-x - 9x^{-1})' = -1 - 9(-1)x^{-2} = -1 + \frac{9}{x^2}$.

Найдем критические точки из условия $f'(x)=0$:
$-1 + \frac{9}{x^2} = 0 \implies \frac{9}{x^2} = 1 \implies x^2=9$, откуда $x_1=3, x_2=-3$.
Из этих точек только $x=-3$ принадлежит промежутку $[-6; -1]$.

Вычислим значения функции в критической точке $x=-3$ и на концах промежутка $x=-6$ и $x=-1$:
$f(-6) = -(-6) - \frac{9}{-6} = 6 + 1.5 = 7.5$
$f(-3) = -(-3) - \frac{9}{-3} = 3 + 3 = 6$
$f(-1) = -(-1) - \frac{9}{-1} = 1 + 9 = 10$

Среди значений {7.5, 6, 10} наименьшее равно 6, а наибольшее равно 10.Следовательно, $min_{x \in [-6;-1]} f(x) = 6$ и $max_{x \in [-6;-1]} f(x) = 10$.

Ответ: наименьшее значение функции равно 6, наибольшее значение равно 10.