Номер 39.25, страница 292 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.25. Найдите наибольшее значение функции $y=-x^2-8x+10$ на отрезке:

1) $[-5; -3];$

2) $[-1; 0];$

3) $[-11; -10].$

Чтобы найти наибольшее значение квадратичной функции $y = -x^2 - 8x + 10$ на заданном отрезке, сначала определим координаты вершины параболы, которая является графиком этой функции. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a = -1$), ветви параболы направлены вниз, и в вершине функция достигает своего глобального максимума.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ находятся по формулам:

Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a}$

Для нашей функции $a = -1$, $b = -8$.

$x_0 = -\frac{-8}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-8}{-2} = -4$.

Ордината вершины (максимальное значение функции): $y_0 = y(x_0)$

$y_0 = y(-4) = -(-4)^2 - 8(-4) + 10 = -16 + 32 + 10 = 26$.

Теперь проанализируем каждый отрезок:

1) на отрезке $[-5; -3]$

Проверяем, принадлежит ли абсцисса вершины $x_0 = -4$ данному отрезку. Да, так как $-5 \le -4 \le -3$.

Поскольку вершина параболы находится на этом отрезке, а ветви направлены вниз, то наибольшее значение функции на отрезке $[-5; -3]$ равно значению функции в вершине.

$y_{наиб} = y(-4) = 26$.

Ответ: 26.

2) на отрезке $[-1; 0]$

Проверяем, принадлежит ли абсцисса вершины $x_0 = -4$ данному отрезку. Нет, $x_0 = -4$ не входит в отрезок $[-1; 0]$.

В этом случае наибольшее значение функции будет достигаться на одном из концов отрезка. Вычислим значения функции в точках $x = -1$ и $x = 0$.

$y(-1) = -(-1)^2 - 8(-1) + 10 = -1 + 8 + 10 = 17$.

$y(0) = -(0)^2 - 8(0) + 10 = 0 + 0 + 10 = 10$.

Сравниваем полученные значения: $17 > 10$. Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке $[-1; 0]$ равно 17.

Ответ: 17.

3) на отрезке $[-11; -10]$

Проверяем, принадлежит ли абсцисса вершины $x_0 = -4$ данному отрезку. Нет, $x_0 = -4$ не входит в отрезок $[-11; -10]$.

Наибольшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка. Вычислим значения функции в точках $x = -11$ и $x = -10$.

$y(-11) = -(-11)^2 - 8(-11) + 10 = -121 + 88 + 10 = -23$.

$y(-10) = -(-10)^2 - 8(-10) + 10 = -100 + 80 + 10 = -10$.

Сравниваем полученные значения: $-10 > -23$. Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке $[-11; -10]$ равно -10.

Ответ: -10.