Номер 39.18, страница 291 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.18. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = \frac{x}{2} - \sin x,$

2) $f(x) = \cos 2x - x\sqrt{3}.$

1) $f(x) = \frac{x}{2} - \sin x$

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (\frac{x}{2} - \sin x)' = \frac{1}{2} - \cos x$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0 \implies \frac{1}{2} - \cos x = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2}$.

Корнями этого уравнения являются $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось.

Функция возрастает, если $f'(x) > 0$, то есть $\frac{1}{2} - \cos x > 0$, что равносильно $\cos x < \frac{1}{2}$. Это неравенство выполняется для $x \in (\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{5\pi}{3} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает, если $f'(x) < 0$, то есть $\frac{1}{2} - \cos x < 0$, что равносильно $\cos x > \frac{1}{2}$. Это неравенство выполняется для $x \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

5. Найдем точки экстремума.

В точках $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ производная меняет знак с «–» на «+». Следовательно, это точки локального минимума.

В точках $x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$ (что эквивалентно $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi (k+1)$) производная меняет знак с «+» на «–». Следовательно, это точки локального максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{5\pi}{3} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$;
функция убывает на промежутках $[-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$;
$x_{max} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$;
$x_{min} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $f(x) = \cos 2x - x\sqrt{3}$

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (\cos 2x - x\sqrt{3})' = -2\sin 2x - \sqrt{3}$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0 \implies -2\sin 2x - \sqrt{3} = 0 \implies \sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решения этого уравнения можно представить в виде двух серий:

$2x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

$2x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Также можно записать решения как $2x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k \implies x = \frac{2\pi}{3} + \pi k$ и $2x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k \implies x = \frac{5\pi}{6} + \pi k$. Отметим, что $-\frac{\pi}{6}+\pi = \frac{5\pi}{6}$ и $-\frac{\pi}{3}+\pi = \frac{2\pi}{3}$, так что это те же самые серии точек.

4. Определим знаки производной на интервалах.

Функция возрастает, если $f'(x) > 0$, то есть $-2\sin 2x - \sqrt{3} > 0$, что равносильно $\sin 2x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это неравенство выполняется для $2x \in (\frac{4\pi}{3} + 2\pi k, \frac{5\pi}{3} + 2\pi k)$, то есть $x \in (\frac{2\pi}{3} + \pi k, \frac{5\pi}{6} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает, если $f'(x) < 0$, то есть $-2\sin 2x - \sqrt{3} < 0$, что равносильно $\sin 2x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это неравенство выполняется для $2x \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{4\pi}{3} + 2\pi k)$, то есть $x \in (-\frac{\pi}{6} + \pi k, \frac{2\pi}{3} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

5. Найдем точки экстремума.

В точках $x = \frac{2\pi}{3} + \pi k$ производная меняет знак с «–» на «+». Следовательно, это точки локального минимума.

В точках $x = \frac{5\pi}{6} + \pi k$ (что эквивалентно $x = -\frac{\pi}{6} + \pi(k+1)$) производная меняет знак с «+» на «–». Следовательно, это точки локального максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[\frac{2\pi}{3} + \pi k, \frac{5\pi}{6} + \pi k], k \in \mathbb{Z}$;
функция убывает на промежутках $[\frac{5\pi}{6} + \pi k, \frac{2\pi}{3} + \pi(k+1)]$, то есть $[\frac{5\pi}{6} + \pi k, \frac{5\pi}{3} + \pi k], k \in \mathbb{Z}$;
$x_{max} = \frac{5\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$;
$x_{min} = \frac{2\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.