Номер 39.12, страница 290 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.12. Докажите, что данная функция не имеет точек экстремума:

1) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x - 10;$

2) $f(x) = \sin x - x.$

1) Чтобы доказать, что функция $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x - 10$ не имеет точек экстремума, необходимо найти ее производную и исследовать ее знак.

Точки экстремума (минимума или максимума) могут существовать только в критических точках, где производная равна нулю или не существует. Необходимым и достаточным условием для существования экстремума в критической точке является смена знака производной при переходе через эту точку.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x - 10)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2 \cdot 2x + 4 = x^2 - 4x + 4$.

Далее найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0 \implies x^2 - 4x + 4 = 0$.

Заметим, что левая часть уравнения представляет собой полный квадрат:

$(x - 2)^2 = 0$.

Это уравнение имеет единственный корень $x = 2$, который является единственной критической точкой функции.

Теперь проанализируем знак производной $f'(x) = (x - 2)^2$. Поскольку выражение $(x - 2)^2$ является квадратом действительного числа, его значение всегда неотрицательно, то есть $f'(x) \ge 0$ при всех действительных значениях $x$. Производная обращается в ноль только в точке $x=2$ и положительна при всех остальных значениях $x$.

Таким образом, при переходе через критическую точку $x=2$ производная не меняет свой знак (она положительна как слева, так и справа от точки). Следовательно, в точке $x=2$ экстремума нет. Так как других критических точек у функции нет, она не имеет точек экстремума.

Ответ: Функция не имеет точек экстремума, так как ее производная $f'(x) = (x-2)^2$ неотрицательна на всей числовой оси и не меняет знак.

2) Рассмотрим функцию $f(x) = \sin x - x$. Применим тот же подход.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\sin x - x)' = \cos x - 1$.

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = 1$.

Решениями этого уравнения являются точки $x = 2\pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Теперь проанализируем знак производной $f'(x) = \cos x - 1$. Известно, что область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого $x$ выполняется неравенство $\cos x \le 1$.

Следовательно, производная $f'(x) = \cos x - 1 \le 0$ при всех действительных значениях $x$. Она обращается в ноль только в критических точках $x = 2\pi k$ и строго отрицательна во всех остальных точках.

Поскольку производная не меняет знак при переходе через любую из критических точек (она остается отрицательной слева и справа от каждой такой точки), функция не имеет точек экстремума. Она является монотонно убывающей на всей числовой оси.

Ответ: Функция не имеет точек экстремума, так как ее производная $f'(x) = \cos x - 1$ неположительна на всей числовой оси и не меняет знак.