Номер 39.7, страница 290 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.7. Найдите точки минимума и максимума функции:

1) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x;$

2) $f(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3;$

3) $f(x) = -x^2 + 4x - 3;$

4) $f(x) = \frac{x^3}{3} + 3x^2 - 7x + 4;$

5) $f(x) = 2x^4 - 4x^3 + 2;$

6) $f(x) = 2 + x^2 + 2x^3 - 2x^4.$

1) Для нахождения точек минимума и максимума функции $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x$ необходимо найти ее производную и приравнять к нулю для определения критических точек.
1. Находим производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - x)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 1 = x^2 - 1$.
2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$x^2 - 1 = 0$
$(x - 1)(x + 1) = 0$
Критические точки: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
3. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; -1)$ возьмем точку $x = -2$. $f'(-2) = (-2)^2 - 1 = 3 > 0$. Функция возрастает.
- На интервале $(-1; 1)$ возьмем точку $x = 0$. $f'(0) = 0^2 - 1 = -1 < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(1; +\infty)$ возьмем точку $x = 2$. $f'(2) = 2^2 - 1 = 3 > 0$. Функция возрастает.
4. Определяем точки минимума и максимума.
- В точке $x = -1$ знак производной меняется с «+» на «−», следовательно, это точка максимума.
- В точке $x = 1$ знак производной меняется с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.
Ответ: $x_{max} = -1$, $x_{min} = 1$.

2) Для функции $f(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3$:
1. Находим производную:
$f'(x) = (4x - \frac{1}{3}x^3)' = 4 - x^2$.
2. Находим критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:
$4 - x^2 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = -2, x_2 = 2$.
3. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$.
- При $x < -2$ (например, $x=-3$), $f'(-3) = 4 - (-3)^2 = -5 < 0$. Функция убывает.
- При $-2 < x < 2$ (например, $x=0$), $f'(0) = 4 - 0^2 = 4 > 0$. Функция возрастает.
- При $x > 2$ (например, $x=3$), $f'(3) = 4 - 3^2 = -5 < 0$. Функция убывает.
4. Определяем точки экстремума.
- В точке $x = -2$ знак производной меняется с «−» на «+», это точка минимума.
- В точке $x = 2$ знак производной меняется с «+» на «−», это точка максимума.
Ответ: $x_{min} = -2$, $x_{max} = 2$.

3) Для функции $f(x) = -x^2 + 4x - 3$:
1. Находим производную:
$f'(x) = (-x^2 + 4x - 3)' = -2x + 4$.
2. Находим критическую точку:
$-2x + 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.
3. Исследуем знак производной.
- При $x < 2$, $f'(x) > 0$ (например, $f'(0) = 4$), функция возрастает.
- При $x > 2$, $f'(x) < 0$ (например, $f'(3) = -2$), функция убывает.
4. В точке $x = 2$ знак производной меняется с «+» на «−», следовательно, это точка максимума. Точек минимума у функции нет, так как это парабола с ветвями вниз.
Ответ: $x_{max} = 2$.

4) Для функции $f(x) = \frac{x^3}{3} + 3x^2 - 7x + 4$:
1. Находим производную:
$f'(x) = (\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 7x + 4)' = x^2 + 6x - 7$.
2. Находим критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:
$x^2 + 6x - 7 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -7$.
3. Исследуем знак производной.
- При $x < -7$ (например, $x=-8$), $f'(-8) = (-8)^2 + 6(-8) - 7 = 64-48-7 = 9 > 0$. Функция возрастает.
- При $-7 < x < 1$ (например, $x=0$), $f'(0) = -7 < 0$. Функция убывает.
- При $x > 1$ (например, $x=2$), $f'(2) = 2^2 + 6(2) - 7 = 4+12-7 = 9 > 0$. Функция возрастает.
4. Определяем точки экстремума.
- В точке $x = -7$ знак производной меняется с «+» на «−», это точка максимума.
- В точке $x = 1$ знак производной меняется с «−» на «+», это точка минимума.
Ответ: $x_{max} = -7$, $x_{min} = 1$.

5) Для функции $f(x) = 2x^4 - 4x^3 + 2$:
1. Находим производную:
$f'(x) = (2x^4 - 4x^3 + 2)' = 8x^3 - 12x^2$.
2. Находим критические точки:
$8x^3 - 12x^2 = 0 \implies 4x^2(2x - 3) = 0$.
Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{3}{2}$.
3. Исследуем знак производной.
- При $x < 0$ (например, $x=-1$), $f'(-1) = 8(-1)^3 - 12(-1)^2 = -8 - 12 = -20 < 0$. Функция убывает.
- При $0 < x < \frac{3}{2}$ (например, $x=1$), $f'(1) = 8(1)^3 - 12(1)^2 = 8 - 12 = -4 < 0$. Функция убывает.
- При $x > \frac{3}{2}$ (например, $x=2$), $f'(2) = 8(2)^3 - 12(2)^2 = 64 - 48 = 16 > 0$. Функция возрастает.
4. Определяем точки экстремума.
- В точке $x=0$ производная не меняет свой знак, поэтому точка $x=0$ не является точкой экстремума.
- В точке $x = \frac{3}{2}$ знак производной меняется с «−» на «+», это точка минимума. Точек максимума у функции нет.
Ответ: $x_{min} = \frac{3}{2}$.

6) Для функции $f(x) = 2 + x^2 + 2x^3 - 2x^4$:
1. Находим производную:
$f'(x) = (2 + x^2 + 2x^3 - 2x^4)' = 2x + 6x^2 - 8x^3$.
2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$-8x^3 + 6x^2 + 2x = 0$
$-2x(4x^2 - 3x - 1) = 0$.
Отсюда $x_1 = 0$ или $4x^2 - 3x - 1 = 0$.
Решаем квадратное уравнение: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$.
$x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3 \pm 5}{8}$.
$x_2 = \frac{3+5}{8} = 1$, $x_3 = \frac{3-5}{8} = -\frac{1}{4}$.
Критические точки: $-\frac{1}{4}$, $0$, $1$.
3. Исследуем знак производной $f'(x) = -2x(x-1)(4x+1)$.
- При $x < -\frac{1}{4}$ (например, $x=-1$), $f'(-1) = 12 > 0$. Функция возрастает.
- При $-\frac{1}{4} < x < 0$ (например, $x=-0.1$), $f'(-0.1) \approx -0.132 < 0$. Функция убывает.
- При $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$), $f'(0.5) = 1.5 > 0$. Функция возрастает.
- При $x > 1$ (например, $x=2$), $f'(2) = -36 < 0$. Функция убывает.
4. Определяем точки экстремума.
- В точке $x = -\frac{1}{4}$ знак производной меняется с «+» на «−», это точка максимума.
- В точке $x = 0$ знак производной меняется с «−» на «+», это точка минимума.
- В точке $x = 1$ знак производной меняется с «+» на «−», это точка максимума.
Ответ: $x_{max} = -\frac{1}{4}$, $x_{max} = 1$, $x_{min} = 0$.