Номер 39.5, страница 289 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.5. На рисунке 39.21 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на множестве действительных чисел. Верно ли равенство:

Рис. 39.21

1) $f'(-3) = 0$;

2) $f'(-2) = 0$;

3) $f'(0) = 0$;

4) $f'(1) = 0$;

5) $f'(2) = 0$;

6) $f'(3) = 0?$;

Для решения этой задачи воспользуемся геометрическим смыслом производной. Значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$, обозначаемое как $f'(x_0)$, равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$. Если касательная горизонтальна, ее угловой коэффициент равен 0, и, следовательно, $f'(x_0) = 0$. Это происходит в гладких точках локальных максимумов и минимумов. Если в точке график имеет излом ("угол"), то производная в этой точке не существует.

1) $f'(-3) = 0;$

В точке $x = -3$ находится локальный минимум функции. График в этой точке гладкий, поэтому касательная к нему горизонтальна. Угловой коэффициент горизонтальной прямой равен нулю. Следовательно, равенство $f'(-3) = 0$ верно.

Ответ: верно.

2) $f'(-2) = 0;$

В точке $x = -2$ находится локальный максимум функции. График в этой точке гладкий, касательная к нему горизонтальна. Следовательно, ее угловой коэффициент равен нулю, и равенство $f'(-2) = 0$ верно.

Ответ: верно.

3) $f'(0) = 0;$

В точке $x = 0$ график функции пересекает начало координат, при этом функция убывает (график идет вниз). Касательная в этой точке имеет отрицательный наклон, поэтому $f'(0) < 0$. Следовательно, равенство $f'(0) = 0$ неверно.

Ответ: неверно.

4) $f'(1) = 0;$

В точке $x = 1$ график имеет излом (острую вершину), это точка минимума. В точках излома функция не является дифференцируемой, поэтому производная $f'(1)$ не существует. Следовательно, равенство $f'(1) = 0$ неверно.

Ответ: неверно.

5) $f'(2) = 0;$

В точке $x = 2$ график пересекает ось абсцисс, то есть значение функции равно нулю: $f(2) = 0$. Однако производная $f'(2)$ — это наклон касательной. В этой точке функция возрастает (график идет вверх), поэтому касательная имеет положительный наклон, то есть $f'(2) > 0$. Следовательно, равенство $f'(2) = 0$ неверно.

Ответ: неверно.

6) $f'(3) = 0?$

В точке $x = 3$ находится локальный максимум функции. График в этой точке гладкий, касательная к нему горизонтальна. Следовательно, ее угловой коэффициент равен нулю, и равенство $f'(3) = 0$ верно.

Ответ: верно.