Номер 39.3, страница 289 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.3. На рисунке 39.20 укажите график функции, для которой точка $x_0$ является точкой минимума.

Рис. 39.20

а

$y$, $0$, $x_0$, $x$

в

$y$, $0$, $x_0$, $x$

б

$y$, $0$, $x_0$, $x$

г

$y$, $0$, $x_0$, $x$

Согласно определению, точка $x_0$ является точкой минимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность точки $x_0$, в которой для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \ge f(x_0)$. Иными словами, в точке $x_0$ функция должна принимать наименьшее значение по сравнению со значениями в близлежащих точках.

Рассмотрим каждый график:

а) На данном графике изображена непрерывная убывающая функция. Слева от точки $x_0$ значения функции больше $f(x_0)$, а справа — меньше. Так как существуют значения функции (справа от $x_0$), которые меньше, чем $f(x_0)$, точка $x_0$ не является точкой минимума.

б) На данном графике точка $x_0$ является правым концом области определения. В ее левой окрестности функция убывает, а это значит, что для любой точки $x$ из этой окрестности выполняется неравенство $f(x) > f(x_0)$. Следовательно, $x_0$ не является точкой минимума (она является точкой локального максимума на краю области определения).

в) На этом графике функция имеет разрыв в точке $x_0$. Значение функции в самой точке, $f(x_0)$, показано сплошной точкой. Все остальные значения функции в окрестности $x_0$ (лежащие на прямой) больше, чем $f(x_0)$. Таким образом, существует окрестность $x_0$, в которой для всех $x$ выполняется неравенство $f(x) \ge f(x_0)$. Это в точности соответствует определению точки минимума.

г) Здесь, как и на графике в, функция имеет разрыв. Однако значение функции в точке $x_0$ (сплошная точка) больше, чем значения функции в ее окрестности (лежащие на параболе). Это означает, что для точек $x$ вблизи $x_0$ выполняется неравенство $f(x) < f(x_0)$, следовательно, $x_0$ является точкой максимума, а не минимума.

Таким образом, единственным графиком, на котором точка $x_0$ является точкой минимума, является график в.
Ответ: в.