Номер 5, страница 288 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5. Сформулируйте признак точки максимума; точки минимума.

Признак точки максимума

Точка максимума (или локального максимума) — это точка, в которой значение функции больше, чем в любой другой точке из некоторой её окрестности. Для определения того, является ли критическая точка точкой максимума, используются достаточные признаки.

Признак по первой производной. Это наиболее общий метод. Пусть функция $f(x)$ непрерывна в критической точке $x_0$ (то есть в точке, где производная $f'(x_0) = 0$ или не существует) и имеет производную в некоторой окрестности этой точки. Если при переходе через точку $x_0$ слева направо производная $f'(x)$ меняет свой знак с положительного на отрицательный, то точка $x_0$ является точкой максимума. Иными словами, слева от $x_0$ функция возрастает ($f'(x) > 0$), а справа — убывает ($f'(x) < 0$).

Признак по второй производной. Этот метод применим, если функция дважды дифференцируема. Пусть в точке $x_0$ первая производная равна нулю ($f'(x_0) = 0$). Если вторая производная в этой точке отрицательна ($f''(x_0) < 0$), то $x_0$ — точка локального максимума.

Ответ: Если при переходе через критическую точку $x_0$ производная функции $f'(x)$ меняет знак с «+» на «–», то $x_0$ является точкой максимума.

Признак точки минимума

Точка минимума (или локального минимума) — это точка, в которой значение функции меньше, чем в любой другой точке из некоторой её окрестности. Признаки точки минимума аналогичны признакам точки максимума.

Признак по первой производной. Пусть функция $f(x)$ непрерывна в критической точке $x_0$ и имеет производную в её окрестности. Если при переходе через точку $x_0$ слева направо производная $f'(x)$ меняет свой знак с отрицательного на положительный, то точка $x_0$ является точкой минимума. Иными словами, слева от $x_0$ функция убывает ($f'(x) < 0$), а справа — возрастает ($f'(x) > 0$).

Признак по второй производной. Пусть в точке $x_0$ первая производная равна нулю ($f'(x_0) = 0$). Если вторая производная в этой точке положительна ($f''(x_0) > 0$), то $x_0$ — точка локального минимума.

Ответ: Если при переходе через критическую точку $x_0$ производная функции $f'(x)$ меняет знак с «–» на «+», то $x_0$ является точкой минимума.