Страница 288 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3. Сформулируйте необходимое условие существования экстремума.

3. Необходимое условие существования экстремума (также известное как теорема Ферма) формулируется следующим образом.

Если функция $f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$, имеет в этой точке локальный экстремум (то есть локальный максимум или минимум) и при этом дифференцируема в точке $x_0$, то ее производная в этой точке обязательно равна нулю:

$f'(x_0) = 0$

Точки из области определения функции, в которых ее производная равна нулю, называются стационарными точками.

Важно учитывать, что экстремум может существовать и в точках, где производная не существует. Классическим примером является функция $f(x) = |x|$, которая имеет точку минимума при $x=0$, но ее производная в этой точке не определена.

Таким образом, объединяя оба случая, можно сформулировать общее необходимое условие существования экстремума:

Если функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ экстремум, то $x_0$ является критической точкой этой функции. То есть, производная $f'(x_0)$ в этой точке либо равна нулю, либо не существует.

Следует помнить, что это условие является необходимым, но не достаточным. Это означает, что если в точке $x_0$ есть экстремум, то она точно является критической. Однако не каждая критическая точка является точкой экстремума. Например, для функции $f(x) = x^3$ точка $x=0$ является критической (так как $f'(0) = 0$), но не является точкой экстремума (это точка перегиба).

Ответ: Если функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ экстремум, то производная функции в этой точке либо равна нулю ($f'(x_0) = 0$), либо не существует. Иными словами, точка экстремума всегда является критической точкой функции.

4. Какую точку называют критической точкой функции?

В математическом анализе критической точкой функции называют внутреннюю точку её области определения, в которой производная этой функции равна нулю или не существует.

Эти точки являются "подозреваемыми" на локальный экстремум (максимум или минимум). Рассмотрим два условия, определяющие критическую точку $x_0$ для функции $f(x)$:

1. Производная равна нулю.
   Если в точке $x_0$ производная функции $f(x)$ существует и равна нулю, то есть $f'(x_0) = 0$, то $x_0$ является критической точкой. Такие точки также называют стационарными точками. Геометрически это означает, что касательная к графику функции в этой точке параллельна оси абсцисс (горизонтальна). В стационарной точке может быть локальный максимум, локальный минимум или точка перегиба с горизонтальной касательной.
   Пример: Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 - 3x$. Её производная равна $f'(x) = 3x^2 - 3$. Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю: $3x^2 - 3 = 0$ $x^2 = 1$ $x_1 = -1$, $x_2 = 1$. Точки $x = -1$ и $x = 1$ являются критическими (стационарными) точками данной функции.
2. Производная не существует.
   Если в точке $x_0$ функция $f(x)$ определена и непрерывна, но её производная $f'(x_0)$ не существует, то $x_0$ также является критической точкой. Такое случается в точках, где график функции имеет "излом" (угловая точка) или "остриё" (касп), либо имеет вертикальную касательную.
   Пример (излом): Для функции $f(x) = |x|$, производная в точке $x=0$ не существует. При $x > 0$ производная равна $1$, а при $x < 0$ она равна $-1$. Поскольку производные слева и справа не совпадают, в точке $x=0$ производной нет. Следовательно, $x=0$ — критическая точка.
   Пример (касп): Для функции $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$, её производная $f'(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$. В точке $x=0$ знаменатель обращается в ноль, поэтому производная не существует. Таким образом, $x=0$ — критическая точка.

Важно понимать, что нахождение критических точек — это необходимый шаг при поиске локальных экстремумов функции. Согласно теореме Ферма, если функция имеет локальный экстремум в точке, то эта точка является критической. Однако не каждая критическая точка является точкой экстремума.

Ответ: Критическая точка функции — это внутренняя точка области определения функции, в которой её производная равна нулю ($f'(x) = 0$) или не существует.

5. Сформулируйте признак точки максимума; точки минимума.

Признак точки максимума

Точка максимума (или локального максимума) — это точка, в которой значение функции больше, чем в любой другой точке из некоторой её окрестности. Для определения того, является ли критическая точка точкой максимума, используются достаточные признаки.

Признак по первой производной. Это наиболее общий метод. Пусть функция $f(x)$ непрерывна в критической точке $x_0$ (то есть в точке, где производная $f'(x_0) = 0$ или не существует) и имеет производную в некоторой окрестности этой точки. Если при переходе через точку $x_0$ слева направо производная $f'(x)$ меняет свой знак с положительного на отрицательный, то точка $x_0$ является точкой максимума. Иными словами, слева от $x_0$ функция возрастает ($f'(x) > 0$), а справа — убывает ($f'(x) < 0$).

Признак по второй производной. Этот метод применим, если функция дважды дифференцируема. Пусть в точке $x_0$ первая производная равна нулю ($f'(x_0) = 0$). Если вторая производная в этой точке отрицательна ($f''(x_0) < 0$), то $x_0$ — точка локального максимума.

Ответ: Если при переходе через критическую точку $x_0$ производная функции $f'(x)$ меняет знак с «+» на «–», то $x_0$ является точкой максимума.

Признак точки минимума

Точка минимума (или локального минимума) — это точка, в которой значение функции меньше, чем в любой другой точке из некоторой её окрестности. Признаки точки минимума аналогичны признакам точки максимума.

Признак по первой производной. Пусть функция $f(x)$ непрерывна в критической точке $x_0$ и имеет производную в её окрестности. Если при переходе через точку $x_0$ слева направо производная $f'(x)$ меняет свой знак с отрицательного на положительный, то точка $x_0$ является точкой минимума. Иными словами, слева от $x_0$ функция убывает ($f'(x) < 0$), а справа — возрастает ($f'(x) > 0$).

Признак по второй производной. Пусть в точке $x_0$ первая производная равна нулю ($f'(x_0) = 0$). Если вторая производная в этой точке положительна ($f''(x_0) > 0$), то $x_0$ — точка локального минимума.

Ответ: Если при переходе через критическую точку $x_0$ производная функции $f'(x)$ меняет знак с «–» на «+», то $x_0$ является точкой минимума.

39.1. На рисунке 39.18 изображён график функции $y = f (x)$, определённой на промежутке $[-10; 9]$. Укажите:

1) критические точки функции;

2) точки минимума;

3) точки максимума.

Рис. 39.18

1) критические точки функции
Критическими точками функции называются внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует. На данном графике функция не имеет точек излома, поэтому ее производная существует на всем интервале $(-10; 9)$. Следовательно, критическими будут только те точки, в которых производная равна нулю ($f'(x) = 0$). Это происходит в точках локальных экстремумов (максимумов и минимумов), где касательная к графику параллельна оси абсцисс.
По графику находим абсциссы всех локальных максимумов и минимумов:
$x = -7$ (максимум)
$x = -4$ (минимум)
$x = -1$ (максимум)
$x = 2$ (минимум)
$x = 4$ (максимум)
$x = 7$ (минимум)
Ответ: $-7; -4; -1; 2; 4; 7$.

2) точки минимума
Точки минимума – это абсциссы точек, в которых убывание функции сменяется возрастанием. На графике это соответствует "впадинам".
Из графика видно, что функция достигает локальных минимумов в точках с абсциссами:
$x = -4$
$x = 2$
$x = 7$
Ответ: $-4; 2; 7$.

3) точки максимума
Точки максимума – это абсциссы точек, в которых возрастание функции сменяется убыванием. На графике это соответствует "вершинам" или "пикам".
Из графика видно, что функция достигает локальных максимумов в точках с абсциссами:
$x = -7$
$x = -1$
$x = 4$
Ответ: $-7; -1; 4$.

39.2. На рисунке 39.19 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-7; 7]$. Укажите:

1) критические точки функции;

2) точки минимума;

3) точки максимума.

Рис. 39.19

Проанализируем график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-7; 7]$. Для этого определим координаты ключевых точек на графике, считая, что одна клетка сетки соответствует единице по обеим осям.

1) критические точки функции

Критическими точками называются внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна нулю или не существует.

• Точки, в которых производная равна нулю, соответствуют точкам на графике, где касательная горизонтальна (гладкие "вершины" и "впадины"). На данном графике это точки с абсциссами $x = -3$ и $x = 2$.
• Точки, в которых производная не существует, соответствуют точкам излома на графике. На данном графике это точки с абсциссами $x = -5$ и $x = 6$.

Таким образом, все критические точки функции на заданном промежутке — это $x = -5$, $x = -3$, $x = 2$, $x = 6$.

Ответ: $-5; -3; 2; 6$.

2) точки минимума

Точки минимума (локальные минимумы) — это точки, в которых значение функции меньше, чем в соседних точках. На графике они выглядят как "впадины".

Из графика видно, что функция имеет две точки минимума:

• $x = -3$, где значение функции $f(-3) = 0$.
• $x = 6$, где значение функции $f(6) = -3$.

Ответ: $-3; 6$.

3) точки максимума

Точки максимума (локальные максимумы) — это точки, в которых значение функции больше, чем в соседних точках. На графике они выглядят как "вершины".

Из графика видно, что функция имеет две точки максимума:

• $x = -5$, где значение функции $f(-5) = 4$.
• $x = 2$, где значение функции $f(2) = 4$.

Ответ: $-5; 2$.