Страница 281 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

38.10. Докажите, что функция является убывающей:

1) $f(x) = 6 - x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3$

2) $f(x) = \sin 2x - 3x$

Для доказательства того, что функция является убывающей, необходимо найти ее производную и доказать, что она неположительна ($f'(x) \le 0$) для всех $x$ из области определения функции. Если производная строго отрицательна ($f'(x) < 0$), то функция является строго убывающей.

1) Дана функция $f(x) = 6 - x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3$.

Область определения этой функции — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

Найдем производную функции $f(x)$ по правилу дифференцирования многочлена:

$f'(x) = (6 - x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3)' = 0 - 1 + \frac{1}{2} \cdot 2x - \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = -1 + x - x^2$.

Итак, $f'(x) = -x^2 + x - 1$.

Чтобы определить знак производной, исследуем квадратичную функцию $y(x) = -x^2 + x - 1$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-1 < 0$).

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $-x^2 + x - 1$:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(-1)(-1) = 1 - 4 = -3$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение $-x^2 + x - 1 = 0$ не имеет действительных корней. Это означает, что график функции $y(x) = -x^2 + x - 1$ не пересекает ось абсцисс.

Так как ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось $Ox$, то все значения функции $y(x)$ являются отрицательными при любых значениях $x$.

Следовательно, $f'(x) = -x^2 + x - 1 < 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Поскольку производная функции отрицательна на всей области определения, функция $f(x)$ является убывающей на всей числовой прямой.

Ответ: Производная функции $f'(x) = -x^2 + x - 1$ всегда отрицательна, так как это парабола с ветвями вниз и отрицательным дискриминантом ($D = -3$), следовательно, функция $f(x)$ является убывающей на всей своей области определения.

2) Дана функция $f(x) = \sin 2x - 3x$.

Область определения этой функции — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (\sin 2x - 3x)' = (\sin 2x)' - (3x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' - 3 = 2\cos(2x) - 3$.

Чтобы определить знак производной, оценим выражение $2\cos(2x) - 3$.

Известно, что область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$, то есть:

$-1 \le \cos(2x) \le 1$ для любого значения $x$.

Умножим все части двойного неравенства на 2:

$-2 \le 2\cos(2x) \le 2$.

Вычтем 3 из всех частей неравенства:

$-2 - 3 \le 2\cos(2x) - 3 \le 2 - 3$.

$-5 \le 2\cos(2x) - 3 \le -1$.

Таким образом, мы получили, что производная $f'(x)$ принимает значения в диапазоне от -5 до -1.

Так как $-1 < 0$, то $f'(x) < 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Поскольку производная функции отрицательна на всей области определения, функция $f(x)$ является убывающей на всей числовой прямой.

Ответ: Производная функции $f'(x) = 2\cos(2x) - 3$ всегда отрицательна, так как ее значения принадлежат отрезку $[-5; -1]$, следовательно, функция $f(x)$ является убывающей на всей своей области определения.

38.11. Докажите, что функция является возрастающей:

1) $f(x) = 10x^3 - 9x^2 + 24x - 90;$

2) $f(x) = \sin x + x^3 + x.$

1)

Чтобы доказать, что функция $f(x) = 10x^3 - 9x^2 + 24x - 90$ является возрастающей, необходимо и достаточно показать, что её производная $f'(x)$ положительна для всех $x$ из области определения.

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен.

Найдём производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (10x^3 - 9x^2 + 24x - 90)' = 10 \cdot (x^3)' - 9 \cdot (x^2)' + 24 \cdot (x)' - (90)' = 10 \cdot 3x^2 - 9 \cdot 2x + 24 = 30x^2 - 18x + 24$.

Теперь необходимо исследовать знак производной $f'(x) = 30x^2 - 18x + 24$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ (равный 30) положителен, ветви параболы направлены вверх.

Чтобы определить, принимает ли функция $f'(x)$ отрицательные или нулевые значения, найдём дискриминант $D$ квадратного трёхчлена $30x^2 - 18x + 24$:
$D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 30 \cdot 24 = 324 - 2880 = -2556$.

Поскольку дискриминант $D = -2556 < 0$ и старший коэффициент $a = 30 > 0$, квадратный трёхчлен $30x^2 - 18x + 24$ принимает только положительные значения при любых действительных значениях $x$.

Таким образом, мы доказали, что $f'(x) > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2)

Чтобы доказать, что функция $f(x) = \sin x + x^3 + x$ является возрастающей, необходимо показать, что её производная $f'(x)$ положительна для всех $x$ из области определения.

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдём производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\sin x + x^3 + x)' = (\sin x)' + (x^3)' + (x)' = \cos x + 3x^2 + 1$.

Исследуем знак производной $f'(x) = \cos x + 3x^2 + 1$.

Для любого действительного числа $x$ справедливы следующие неравенства:
1. Значение косинуса находится в пределах от -1 до 1: $-1 \le \cos x \le 1$.
2. Квадрат любого действительного числа неотрицателен: $x^2 \ge 0$, а значит и $3x^2 \ge 0$.

Оценим значение производной. Представим её в виде суммы двух слагаемых: $f'(x) = (\cos x + 1) + 3x^2$.
Из неравенства $\cos x \ge -1$ следует, что $\cos x + 1 \ge 0$.
Также мы знаем, что $3x^2 \ge 0$.
Производная $f'(x)$ является суммой двух неотрицательных слагаемых, поэтому её значение также неотрицательно: $f'(x) \ge 0$.

Теперь проверим, может ли производная равняться нулю. Равенство $f'(x) = 0$ возможно только в том случае, если оба слагаемых одновременно равны нулю:
$\left\{ \begin{aligned} \cos x + 1 = 0 \\ 3x^2 = 0 \end{aligned} \right.$
Из второго уравнения системы следует, что $x=0$. Подставим это значение в первое уравнение: $\cos(0) + 1 = 1 + 1 = 2$. Так как $2 \ne 0$, первого уравнение не выполняется.
Система не имеет решений, а это означает, что производная $f'(x)$ никогда не обращается в нуль.

Поскольку $f'(x) \ge 0$ и $f'(x) \ne 0$ ни при каком $x$, то $f'(x)$ всегда строго больше нуля: $f'(x) > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
Следовательно, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.

38.12. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = x\sqrt{2} + \sin x;$

2) $f(x) = x - \cos x;$

3) $f(x) = \cos x + \frac{x\sqrt{3}}{2}.$

1) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = x\sqrt{2} + \sin x$, найдем ее производную. Область определения функции — все действительные числа $x \in \mathbb{R}$.
Производная функции: $f'(x) = (x\sqrt{2} + \sin x)' = \sqrt{2} + \cos x$.
Чтобы определить знак производной, воспользуемся тем, что область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$, т.е. $-1 \le \cos x \le 1$.
Тогда наименьшее значение производной $f'(x)$ составляет $\sqrt{2} + (-1) = \sqrt{2} - 1$.
Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $\sqrt{2} - 1 > 0$.
Следовательно, производная $f'(x)$ положительна при всех значениях $x$. А это значит, что функция $f(x)$ возрастает на всей своей области определения.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет.

2) Рассмотрим функцию $f(x) = x - \cos x$. Область определения функции — все действительные числа $x \in \mathbb{R}$.
Найдем производную: $f'(x) = (x - \cos x)' = 1 - (-\sin x) = 1 + \sin x$.
Исследуем знак производной. Мы знаем, что $-1 \le \sin x \le 1$.
Следовательно, $1 + (-1) \le 1 + \sin x \le 1 + 1$, что дает $0 \le f'(x) \le 2$.
Производная $f'(x)$ неотрицательна на всей области определения. Она обращается в ноль только в тех точках, где $\sin x = -1$, то есть при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Поскольку производная функции неотрицательна и обращается в ноль лишь в изолированных точках, функция является монотонно возрастающей на всей числовой прямой.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет.

3) Рассмотрим функцию $f(x) = \cos x + \frac{x\sqrt{3}}{2}$. Область определения — $x \in \mathbb{R}$.
Найдем производную: $f'(x) = (\cos x + \frac{x\sqrt{3}}{2})' = -\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Для определения промежутков монотонности, найдем нули производной: $f'(x) = 0$.
$-\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \implies \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Функция возрастает, когда $f'(x) > 0$, то есть $-\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$, что равносильно $\sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Это неравенство выполняется на объединении интервалов $(\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi(k+1))$. Включая концы, получаем промежутки возрастания: $[\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{7\pi}{3} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.
Функция убывает, когда $f'(x) < 0$, то есть $-\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} < 0$, что равносильно $\sin x > \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Это неравенство выполняется на интервалах $(\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k)$. Включая концы, получаем промежутки убывания: $[\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: промежутки возрастания $[\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{7\pi}{3} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$; промежутки убывания $[\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

38.13. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = \sin x - x$;

2) $f(x) = \frac{x\sqrt{2}}{2} - \sin x$.

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции используется ее производная. Если производная $f'(x) > 0$ на некотором промежутке, то функция $f(x)$ на этом промежутке возрастает. Если $f'(x) < 0$, то функция убывает.

1. Найдём область определения функции. Функция определена для всех действительных чисел $x$, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции:
$f'(x) = (\sin x - x)' = (\sin x)' - (x)' = \cos x - 1$.

3. Определим знак производной. Область значений функции косинуса — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого значения $x$ выполняется неравенство $\cos x \le 1$.
Следовательно, $f'(x) = \cos x - 1 \le 0$ для всех $x$ из области определения.

4. Найдём точки, в которых производная равна нулю:
$f'(x) = 0 \implies \cos x - 1 = 0 \implies \cos x = 1$.
Это равенство достигается при $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Во всех остальных точках ($x \neq 2\pi n$) производная строго отрицательна: $f'(x) < 0$.

Поскольку производная функции отрицательна на всей области определения, за исключением отдельных точек, где она равна нулю, функция является убывающей на всей числовой прямой. Промежутков возрастания у функции нет.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков возрастания нет.

1. Найдём область определения функции. Функция определена для всех действительных чисел $x$, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции:
$f'(x) = (\frac{x\sqrt{2}}{2} - \sin x)' = (\frac{\sqrt{2}}{2}x)' - (\sin x)' = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos x$.

3. Определим знак производной.

Функция возрастает, когда $f'(x) > 0$:
$\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos x > 0$
$\cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}$
Решением этого неравенства является объединение интервалов: $x \in (\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{7\pi}{4} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как функция непрерывна, то в искомые промежутки можно включить и концы. Таким образом, функция возрастает на промежутках $[\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{7\pi}{4} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает, когда $f'(x) < 0$:
$\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos x < 0$
$\cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$
Решением этого неравенства является объединение интервалов: $x \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{4} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Включая концы, получаем, что функция убывает на промежутках $[-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{4} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{7\pi}{4} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$; функция убывает на промежутках $[-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{4} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

38.14. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = \sqrt{x^2 + 4x};$

2) $f(x) = \sqrt{6x - x^2}.$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции необходимо исследовать знак ее производной на области определения.

1. Найдем область определения функции. Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным:

$x^2 + 4x \ge 0$

$x(x + 4) \ge 0$

Решая данное неравенство методом интервалов, находим корни $x=0$ и $x=-4$. Так как ветви параболы $y=x^2+4x$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x \le -4$ или $x \ge 0$.

Таким образом, область определения функции $D(f) = (-\infty, -4] \cup [0, +\infty)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$:

$f'(x) = (\sqrt{x^2 + 4x})' = \frac{(x^2 + 4x)'}{2\sqrt{x^2 + 4x}} = \frac{2x + 4}{2\sqrt{x^2 + 4x}} = \frac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4x}}$

Производная $f'(x)$ определена на интервалах $(-\infty, -4)$ и $(0, +\infty)$.

3. Найдем критические точки. Для этого определим, при каких значениях $x$ производная равна нулю или не существует.

$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4x}} = 0 \Rightarrow x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$.

Точка $x = -2$ не входит в область определения функции, поэтому она не является критической точкой.

Производная не существует в точках, где знаменатель равен нулю, то есть при $x = -4$ и $x = 0$. Эти точки являются граничными точками области определения.

4. Определим знак производной на интервалах, входящих в область определения. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $(x+2)$, так как знаменатель $\sqrt{x^2 + 4x}$ всегда положителен в области определения производной.

• На интервале $(-\infty, -4)$: возьмем пробную точку $x = -5$. Тогда $x+2 = -5+2 = -3 < 0$. Значит, $f'(x) < 0$, и функция убывает на этом интервале.
• На интервале $(0, +\infty)$: возьмем пробную точку $x = 1$. Тогда $x+2 = 1+2 = 3 > 0$. Значит, $f'(x) > 0$, и функция возрастает на этом интервале.

Так как функция непрерывна в точках $x=-4$ и $x=0$, эти точки можно включить в промежутки монотонности.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, -4]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

Действуем аналогично первому пункту.

1. Найдем область определения функции:

$6x - x^2 \ge 0$

$x(6 - x) \ge 0$

Корни уравнения $x(6-x)=0$ это $x=0$ и $x=6$. Ветви параболы $y=-x^2+6x$ направлены вниз, поэтому неравенство выполняется между корнями.

Область определения функции $D(f) = [0, 6]$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sqrt{6x - x^2})' = \frac{(6x - x^2)'}{2\sqrt{6x - x^2}} = \frac{6 - 2x}{2\sqrt{6x - x^2}} = \frac{3 - x}{\sqrt{6x - x^2}}$

Производная $f'(x)$ определена на интервале $(0, 6)$.

3. Найдем критические точки. Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{3 - x}{\sqrt{6x - x^2}} = 0 \Rightarrow 3 - x = 0 \Rightarrow x = 3$.

Точка $x = 3$ принадлежит области определения функции. Производная не существует в граничных точках $x=0$ и $x=6$.

4. Определим знак производной на интервалах, на которые точка $x=3$ разбивает интервал $(0, 6)$. Знак $f'(x)$ зависит от знака числителя $(3-x)$.

• На интервале $(0, 3)$: возьмем пробную точку $x = 1$. Тогда $3-x = 3-1 = 2 > 0$. Значит, $f'(x) > 0$, и функция возрастает.
• На интервале $(3, 6)$: возьмем пробную точку $x = 4$. Тогда $3-x = 3-4 = -1 < 0$. Значит, $f'(x) < 0$, и функция убывает.

Функция непрерывна на всей области определения $[0, 6]$, поэтому точки $x=0, x=3, x=6$ включаются в промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, 3]$ и убывает на промежутке $[3, 6]$.

38.15. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $f(x) = \sqrt{x^2 - 1}$.

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции $f(x) = \sqrt{x^2 - 1}$, необходимо исследовать знак ее производной. Для этого выполним следующие шаги.

1. Найдём область определения функции.

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$x^2 - 1 \ge 0$

Разложим левую часть на множители:

$(x - 1)(x + 1) \ge 0$

Решая это неравенство, получаем, что область определения функции $D(f)$ есть объединение промежутков: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

2. Найдём производную функции.

Используем правило дифференцирования сложной функции $(u^n)' = n u^{n-1} u'$:

$f'(x) = (\sqrt{x^2 - 1})' = ((x^2 - 1)^{1/2})' = \frac{1}{2}(x^2 - 1)^{-1/2} \cdot (x^2 - 1)' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$

Производная $f'(x)$ определена при $x^2 - 1 > 0$, то есть на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(1, \infty)$.

3. Определим знаки производной и промежутки монотонности.

Знак производной $f'(x)$ определяет, возрастает или убывает функция. Знаменатель $\sqrt{x^2 - 1}$ всегда положителен в области определения производной. Следовательно, знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $x$.

Промежутки убывания

Функция убывает, когда ее производная отрицательна, то есть $f'(x) < 0$.

$\frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} < 0 \implies x < 0$

Учитывая область определения функции $D(f)$, находим пересечение множеств $(-\infty, 0)$ и $((-\infty, -1] \cup [1, \infty))$. Таким образом, функция убывает на интервале $(-\infty, -1)$. Поскольку функция $f(x)$ непрерывна в точке $x = -1$, этот промежуток можно расширить, включив в него эту точку.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, -1]$.

Промежутки возрастания

Функция возрастает, когда ее производная положительна, то есть $f'(x) > 0$.

$\frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} > 0 \implies x > 0$

Учитывая область определения функции $D(f)$, находим пересечение множеств $(0, \infty)$ и $((-\infty, -1] \cup [1, \infty))$. Таким образом, функция возрастает на интервале $(1, \infty)$. Поскольку функция $f(x)$ непрерывна в точке $x = 1$, этот промежуток можно расширить, включив в него эту точку.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[1, \infty)$.

38.16. Решите уравнение $1 + \frac{2x}{x+4} + \frac{27}{2x^2 + 7x - 4} = \frac{6}{2x - 1}$.

Для решения уравнения $1 + \frac{2x}{x+4} + \frac{27}{2x^2 + 7x - 4} = \frac{6}{2x - 1}$ сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого необходимо, чтобы знаменатели дробей не обращались в ноль.

Разложим на множители знаменатель $2x^2 + 7x - 4$. Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 + 7x - 4 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4$.

Следовательно, разложение на множители имеет вид: $2x^2 + 7x - 4 = 2(x - \frac{1}{2})(x+4) = (2x-1)(x+4)$.

Знаменатели в исходном уравнении: $x+4$, $2x^2+7x-4=(2x-1)(x+4)$ и $2x-1$. Они не должны равняться нулю, поэтому ОДЗ: $x \neq -4$ и $x \neq \frac{1}{2}$.

Теперь преобразуем уравнение, подставив разложенный знаменатель:

$$1 + \frac{2x}{x+4} + \frac{27}{(2x - 1)(x + 4)} = \frac{6}{2x - 1}$$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(2x - 1)(x + 4)$, чтобы избавиться от дробей, при условии, что $x$ удовлетворяет ОДЗ:

$1 \cdot (2x - 1)(x + 4) + 2x \cdot (2x - 1) + 27 = 6 \cdot (x + 4)$

Раскроем скобки:

$(2x^2 + 8x - x - 4) + (4x^2 - 2x) + 27 = 6x + 24$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + 7x - 4 + 4x^2 - 2x + 27 = 6x + 24$

$6x^2 + 5x + 23 = 6x + 24$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$6x^2 + 5x - 6x + 23 - 24 = 0$

$6x^2 - x - 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 - 5}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$.

Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -4$ и $x \neq \frac{1}{2}$).

Корень $x_1 = \frac{1}{2}$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатель $2x-1$ обращается в ноль. Следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = -\frac{1}{3}$ удовлетворяет ОДЗ, так как не равен $-4$ и $\frac{1}{2}$.

Таким образом, единственным решением уравнения является $x = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{1}{3}$.

38.17. Решите уравнение $(x^2 + 2x)^2 - (x + 1)^2 = 55$.

Исходное уравнение: $(x^2 + 2x)^2 - (x + 1)^2 = 55$.

Для решения данного уравнения преобразуем выражение $(x + 1)^2$, раскрыв скобки по формуле квадрата суммы:
$(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$.

Теперь подставим полученный результат в исходное уравнение:
$(x^2 + 2x)^2 - (x^2 + 2x + 1) = 55$.

Заметим, что в уравнении повторяется выражение $x^2 + 2x$. Это позволяет упростить уравнение с помощью введения новой переменной.
Пусть $t = x^2 + 2x$.

Сделав замену, мы получим квадратное уравнение относительно переменной $t$:
$t^2 - (t + 1) = 55$.

Решим это уравнение. Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:
$t^2 - t - 1 - 55 = 0$
$t^2 - t - 56 = 0$.

Найдем корни полученного квадратного уравнения. Можно использовать теорему Виета или формулу корней через дискриминант.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 15}{2} = \frac{16}{2} = 8$.
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 15}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$, чтобы найти корни исходного уравнения.

Случай 1. Пусть $t = 8$.
$x^2 + 2x = 8$
$x^2 + 2x - 8 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а их произведение равно $-8$. Этим условиям удовлетворяют числа $2$ и $-4$.
$x_1 = 2$
$x_2 = -4$.

Случай 2. Пусть $t = -7$.
$x^2 + 2x = -7$
$x^2 + 2x + 7 = 0$.
Вычислим дискриминант этого уравнения:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, исходное уравнение имеет два действительных корня, найденных в первом случае.

Ответ: $-4; 2$.