Номер 38.15, страница 281 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

38.15. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $f(x) = \sqrt{x^2 - 1}$.

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции $f(x) = \sqrt{x^2 - 1}$, необходимо исследовать знак ее производной. Для этого выполним следующие шаги.

1. Найдём область определения функции.

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$x^2 - 1 \ge 0$

Разложим левую часть на множители:

$(x - 1)(x + 1) \ge 0$

Решая это неравенство, получаем, что область определения функции $D(f)$ есть объединение промежутков: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

2. Найдём производную функции.

Используем правило дифференцирования сложной функции $(u^n)' = n u^{n-1} u'$:

$f'(x) = (\sqrt{x^2 - 1})' = ((x^2 - 1)^{1/2})' = \frac{1}{2}(x^2 - 1)^{-1/2} \cdot (x^2 - 1)' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$

Производная $f'(x)$ определена при $x^2 - 1 > 0$, то есть на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(1, \infty)$.

3. Определим знаки производной и промежутки монотонности.

Знак производной $f'(x)$ определяет, возрастает или убывает функция. Знаменатель $\sqrt{x^2 - 1}$ всегда положителен в области определения производной. Следовательно, знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $x$.

Промежутки убывания

Функция убывает, когда ее производная отрицательна, то есть $f'(x) < 0$.

$\frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} < 0 \implies x < 0$

Учитывая область определения функции $D(f)$, находим пересечение множеств $(-\infty, 0)$ и $((-\infty, -1] \cup [1, \infty))$. Таким образом, функция убывает на интервале $(-\infty, -1)$. Поскольку функция $f(x)$ непрерывна в точке $x = -1$, этот промежуток можно расширить, включив в него эту точку.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, -1]$.

Промежутки возрастания

Функция возрастает, когда ее производная положительна, то есть $f'(x) > 0$.

$\frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} > 0 \implies x > 0$

Учитывая область определения функции $D(f)$, находим пересечение множеств $(0, \infty)$ и $((-\infty, -1] \cup [1, \infty))$. Таким образом, функция возрастает на интервале $(1, \infty)$. Поскольку функция $f(x)$ непрерывна в точке $x = 1$, этот промежуток можно расширить, включив в него эту точку.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[1, \infty)$.