Номер 38.14, страница 281 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

38.14. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = \sqrt{x^2 + 4x};$

2) $f(x) = \sqrt{6x - x^2}.$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции необходимо исследовать знак ее производной на области определения.

1. Найдем область определения функции. Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным:

$x^2 + 4x \ge 0$

$x(x + 4) \ge 0$

Решая данное неравенство методом интервалов, находим корни $x=0$ и $x=-4$. Так как ветви параболы $y=x^2+4x$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x \le -4$ или $x \ge 0$.

Таким образом, область определения функции $D(f) = (-\infty, -4] \cup [0, +\infty)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$:

$f'(x) = (\sqrt{x^2 + 4x})' = \frac{(x^2 + 4x)'}{2\sqrt{x^2 + 4x}} = \frac{2x + 4}{2\sqrt{x^2 + 4x}} = \frac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4x}}$

Производная $f'(x)$ определена на интервалах $(-\infty, -4)$ и $(0, +\infty)$.

3. Найдем критические точки. Для этого определим, при каких значениях $x$ производная равна нулю или не существует.

$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4x}} = 0 \Rightarrow x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$.

Точка $x = -2$ не входит в область определения функции, поэтому она не является критической точкой.

Производная не существует в точках, где знаменатель равен нулю, то есть при $x = -4$ и $x = 0$. Эти точки являются граничными точками области определения.

4. Определим знак производной на интервалах, входящих в область определения. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $(x+2)$, так как знаменатель $\sqrt{x^2 + 4x}$ всегда положителен в области определения производной.

• На интервале $(-\infty, -4)$: возьмем пробную точку $x = -5$. Тогда $x+2 = -5+2 = -3 < 0$. Значит, $f'(x) < 0$, и функция убывает на этом интервале.
• На интервале $(0, +\infty)$: возьмем пробную точку $x = 1$. Тогда $x+2 = 1+2 = 3 > 0$. Значит, $f'(x) > 0$, и функция возрастает на этом интервале.

Так как функция непрерывна в точках $x=-4$ и $x=0$, эти точки можно включить в промежутки монотонности.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, -4]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

Действуем аналогично первому пункту.

1. Найдем область определения функции:

$6x - x^2 \ge 0$

$x(6 - x) \ge 0$

Корни уравнения $x(6-x)=0$ это $x=0$ и $x=6$. Ветви параболы $y=-x^2+6x$ направлены вниз, поэтому неравенство выполняется между корнями.

Область определения функции $D(f) = [0, 6]$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sqrt{6x - x^2})' = \frac{(6x - x^2)'}{2\sqrt{6x - x^2}} = \frac{6 - 2x}{2\sqrt{6x - x^2}} = \frac{3 - x}{\sqrt{6x - x^2}}$

Производная $f'(x)$ определена на интервале $(0, 6)$.

3. Найдем критические точки. Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{3 - x}{\sqrt{6x - x^2}} = 0 \Rightarrow 3 - x = 0 \Rightarrow x = 3$.

Точка $x = 3$ принадлежит области определения функции. Производная не существует в граничных точках $x=0$ и $x=6$.

4. Определим знак производной на интервалах, на которые точка $x=3$ разбивает интервал $(0, 6)$. Знак $f'(x)$ зависит от знака числителя $(3-x)$.

• На интервале $(0, 3)$: возьмем пробную точку $x = 1$. Тогда $3-x = 3-1 = 2 > 0$. Значит, $f'(x) > 0$, и функция возрастает.
• На интервале $(3, 6)$: возьмем пробную точку $x = 4$. Тогда $3-x = 3-4 = -1 < 0$. Значит, $f'(x) < 0$, и функция убывает.

Функция непрерывна на всей области определения $[0, 6]$, поэтому точки $x=0, x=3, x=6$ включаются в промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, 3]$ и убывает на промежутке $[3, 6]$.