Страница 287 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какой промежуток называют окрестностью точки $x_0$?

1. Окрестностью точки $x_0$ на числовой прямой называется любой интервал $(a, b)$, который содержит эту точку. Это означает, что должно выполняться строгое неравенство $a < x_0 < b$.
Часто в математическом анализе используется более специфическое понятие — симметричная окрестность или $\epsilon$-окрестность (читается «эпсилон-окрестность»). Это интервал, для которого точка $x_0$ является центром.
$\epsilon$-окрестностью точки $x_0$ называют интервал вида $(x_0 - \epsilon, x_0 + \epsilon)$, где $\epsilon$ — это любое положительное число ($\epsilon > 0$). Число $\epsilon$ называется радиусом окрестности.
Таким образом, $\epsilon$-окрестность точки $x_0$ — это множество всех точек $x$, которые удалены от $x_0$ на расстояние, меньшее чем $\epsilon$. Это условие можно записать с помощью модуля в виде неравенства: $|x - x_0| < \epsilon$.
Например, интервал $(2, 8)$ является окрестностью точки $5$. Он также является её симметричной $\epsilon$-окрестностью с радиусом $\epsilon = 3$, так как $(5-3, 5+3) = (2, 8)$. Интервал $(4, 9)$ тоже является окрестностью точки $5$, но он не симметричен относительно неё.

Ответ: Окрестностью точки $x_0$ называют любой интервал $(a,b)$, содержащий эту точку, то есть такой, для которого выполняется условие $a < x_0 < b$.

2. Какую точку называют точкой максимума функции; точкой минимума функции?

Точкой максимума функции

Точка $x_0$ из области определения функции $f(x)$ называется точкой максимума, если существует такая окрестность этой точки (то есть интервал, содержащий $x_0$), что для любой точки $x$ из этой окрестности выполняется неравенство: $f(x) \le f(x_0)$.

Другими словами, точка максимума — это точка на оси $x$, в которой значение функции является наибольшим по сравнению со значениями во всех соседних точках. На графике это выглядит как "вершина холма". Саму точку $x_0$ называют точкой максимума, а значение функции в ней, $f(x_0)$, — максимумом функции.

Ответ: Точка $x_0$ называется точкой максимума функции, если для всех точек $x$ из некоторой окрестности $x_0$ выполняется неравенство $f(x) \le f(x_0)$.

Точкой минимума функции

Точка $x_0$ из области определения функции $f(x)$ называется точкой минимума, если существует такая окрестность этой точки, что для любой точки $x$ из этой окрестности выполняется неравенство: $f(x) \ge f(x_0)$.

Иначе говоря, точка минимума — это точка на оси $x$, в которой значение функции является наименьшим по сравнению со значениями во всех близлежащих точках. На графике это выглядит как "дно впадины". Саму точку $x_0$ называют точкой минимума, а значение функции в ней, $f(x_0)$, — минимумом функции.

Ответ: Точка $x_0$ называется точкой минимума функции, если для всех точек $x$ из некоторой окрестности $x_0$ выполняется неравенство $f(x) \ge f(x_0)$.