Страница 289 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.3. На рисунке 39.20 укажите график функции, для которой точка $x_0$ является точкой минимума.

Рис. 39.20

а

$y$, $0$, $x_0$, $x$

в

$y$, $0$, $x_0$, $x$

б

$y$, $0$, $x_0$, $x$

г

$y$, $0$, $x_0$, $x$

Согласно определению, точка $x_0$ является точкой минимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность точки $x_0$, в которой для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \ge f(x_0)$. Иными словами, в точке $x_0$ функция должна принимать наименьшее значение по сравнению со значениями в близлежащих точках.

Рассмотрим каждый график:

а) На данном графике изображена непрерывная убывающая функция. Слева от точки $x_0$ значения функции больше $f(x_0)$, а справа — меньше. Так как существуют значения функции (справа от $x_0$), которые меньше, чем $f(x_0)$, точка $x_0$ не является точкой минимума.

б) На данном графике точка $x_0$ является правым концом области определения. В ее левой окрестности функция убывает, а это значит, что для любой точки $x$ из этой окрестности выполняется неравенство $f(x) > f(x_0)$. Следовательно, $x_0$ не является точкой минимума (она является точкой локального максимума на краю области определения).

в) На этом графике функция имеет разрыв в точке $x_0$. Значение функции в самой точке, $f(x_0)$, показано сплошной точкой. Все остальные значения функции в окрестности $x_0$ (лежащие на прямой) больше, чем $f(x_0)$. Таким образом, существует окрестность $x_0$, в которой для всех $x$ выполняется неравенство $f(x) \ge f(x_0)$. Это в точности соответствует определению точки минимума.

г) Здесь, как и на графике в, функция имеет разрыв. Однако значение функции в точке $x_0$ (сплошная точка) больше, чем значения функции в ее окрестности (лежащие на параболе). Это означает, что для точек $x$ вблизи $x_0$ выполняется неравенство $f(x) < f(x_0)$, следовательно, $x_0$ является точкой максимума, а не минимума.

Таким образом, единственным графиком, на котором точка $x_0$ является точкой минимума, является график в.
Ответ: в.

39.4. Имеет ли критические точки функция:

1) $f(x) = x;$

2) $f(x) = x^5 + 1;$

3) $f(x) = 5;$

4) $f(x) = \sin x;$

5) $f(x) = \text{tg } x;$

6) $f(x) = \sqrt{x}?$

Критическими точками функции называются внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.

1) $f(x) = x$

Область определения функции: $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Все точки области определения являются внутренними.
Найдем производную функции: $f'(x) = (x)' = 1$.
Уравнение $f'(x) = 1 = 0$ не имеет решений.
Производная $f'(x) = 1$ существует при всех значениях $x$.
Следовательно, у функции нет точек, где производная равна нулю или не существует.

Ответ: нет, функция не имеет критических точек.

2) $f(x) = x^5 + 1$

Область определения функции: $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Все точки области определения являются внутренними.
Найдем производную функции: $f'(x) = (x^5 + 1)' = 5x^4$.
Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 5x^4 = 0$. Решением этого уравнения является $x = 0$.
Точка $x=0$ является внутренней точкой области определения, и производная в этой точке равна нулю, следовательно, $x=0$ — критическая точка.

Ответ: да, функция имеет критическую точку $x=0$.

3) $f(x) = 5$

Область определения функции: $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Все точки области определения являются внутренними.
Найдем производную функции: $f'(x) = (5)' = 0$.
Производная равна нулю при любом значении $x$ из области определения.
Следовательно, любая точка $x \in \mathbb{R}$ является критической точкой.

Ответ: да, любая точка $x \in \mathbb{R}$ является критической точкой.

4) $f(x) = \sin x$

Область определения функции: $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Все точки области определения являются внутренними.
Найдем производную функции: $f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
Приравняем производную к нулю: $f'(x) = \cos x = 0$. Решениями этого уравнения являются $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Все эти точки являются внутренними точками области определения, следовательно, они являются критическими.

Ответ: да, функция имеет критические точки вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

5) $f(x) = \tg x$

Область определения функции: $D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\}$. Область определения состоит из объединения открытых интервалов, поэтому все ее точки являются внутренними.
Найдем производную функции: $f'(x) = (\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Уравнение $f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} = 0$ не имеет решений, так как числитель дроби равен 1.
Производная существует во всех точках области определения функции.
Таким образом, у функции нет критических точек.

Ответ: нет, функция не имеет критических точек.

6) $f(x) = \sqrt{x}$

Область определения функции: $D(f) = [0, +\infty)$. Внутренними точками области определения являются точки интервала $(0, +\infty)$.
Найдем производную функции: $f'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
На интервале $(0, +\infty)$ производная $f'(x)$ существует и не равна нулю ($ \frac{1}{2\sqrt{x}} \neq 0 $).
В точке $x = 0$ производная не существует, но эта точка не является внутренней точкой области определения, а является ее граничной точкой.
Согласно определению, критическими точками могут быть только внутренние точки области определения, поэтому у данной функции нет критических точек.

Ответ: нет, функция не имеет критических точек.

39.5. На рисунке 39.21 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на множестве действительных чисел. Верно ли равенство:

Рис. 39.21

1) $f'(-3) = 0$;

2) $f'(-2) = 0$;

3) $f'(0) = 0$;

4) $f'(1) = 0$;

5) $f'(2) = 0$;

6) $f'(3) = 0?$;

Для решения этой задачи воспользуемся геометрическим смыслом производной. Значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$, обозначаемое как $f'(x_0)$, равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$. Если касательная горизонтальна, ее угловой коэффициент равен 0, и, следовательно, $f'(x_0) = 0$. Это происходит в гладких точках локальных максимумов и минимумов. Если в точке график имеет излом ("угол"), то производная в этой точке не существует.

1) $f'(-3) = 0;$

В точке $x = -3$ находится локальный минимум функции. График в этой точке гладкий, поэтому касательная к нему горизонтальна. Угловой коэффициент горизонтальной прямой равен нулю. Следовательно, равенство $f'(-3) = 0$ верно.

Ответ: верно.

2) $f'(-2) = 0;$

В точке $x = -2$ находится локальный максимум функции. График в этой точке гладкий, касательная к нему горизонтальна. Следовательно, ее угловой коэффициент равен нулю, и равенство $f'(-2) = 0$ верно.

Ответ: верно.

3) $f'(0) = 0;$

В точке $x = 0$ график функции пересекает начало координат, при этом функция убывает (график идет вниз). Касательная в этой точке имеет отрицательный наклон, поэтому $f'(0) < 0$. Следовательно, равенство $f'(0) = 0$ неверно.

Ответ: неверно.

4) $f'(1) = 0;$

В точке $x = 1$ график имеет излом (острую вершину), это точка минимума. В точках излома функция не является дифференцируемой, поэтому производная $f'(1)$ не существует. Следовательно, равенство $f'(1) = 0$ неверно.

Ответ: неверно.

5) $f'(2) = 0;$

В точке $x = 2$ график пересекает ось абсцисс, то есть значение функции равно нулю: $f(2) = 0$. Однако производная $f'(2)$ — это наклон касательной. В этой точке функция возрастает (график идет вверх), поэтому касательная имеет положительный наклон, то есть $f'(2) > 0$. Следовательно, равенство $f'(2) = 0$ неверно.

Ответ: неверно.

6) $f'(3) = 0?$

В точке $x = 3$ находится локальный максимум функции. График в этой точке гладкий, касательная к нему горизонтальна. Следовательно, ее угловой коэффициент равен нулю, и равенство $f'(3) = 0$ верно.

Ответ: верно.

39.6. Найдите точки минимума и максимума функции:

1) $f(x) = 0.5x^4$;

2) $f(x) = x^2 - 6x$;

3) $f(x) = 12x - x^3$;

4) $f(x) = x^4 - 8x^2 + 5$;

5) $f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 7$;

6) $f(x) = x^2 - \frac{x^4}{2}$.

Для нахождения точек минимума и максимума функции (точек экстремума) необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции.
2. Найти производную функции $f'(x)$.
3. Найти критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$.
4. Определить знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения.
5. Сделать вывод о наличии точек минимума или максимума. Если в критической точке производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимума. Если с минуса на плюс — это точка минимума.

Все представленные функции являются многочленами, их область определения — все действительные числа ($D(f) = (-\infty; +\infty)$).

Дана функция $f(x) = 0,5x^4$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (0,5x^4)' = 0,5 \cdot 4x^3 = 2x^3$.

2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:

$2x^3 = 0$

$x = 0$.

3. Исследуем знак производной в окрестности критической точки $x=0$.

При $x < 0$, производная $f'(x) = 2x^3 < 0$, следовательно, функция убывает.

При $x > 0$, производная $f'(x) = 2x^3 > 0$, следовательно, функция возрастает.

4. Поскольку при переходе через точку $x=0$ производная меняет знак с минуса на плюс, эта точка является точкой минимума.

Ответ: $x_{min} = 0$.

Дана функция $f(x) = x^2 - 6x$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^2 - 6x)' = 2x - 6$.

2. Находим критические точки:

$2x - 6 = 0$

$2x = 6$

$x = 3$.

3. Исследуем знак производной. $f'(x)$ — это линейная функция.

При $x < 3$, производная $f'(x) < 0$ (функция убывает).

При $x > 3$, производная $f'(x) > 0$ (функция возрастает).

4. При переходе через точку $x=3$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, $x=3$ является точкой минимума.

Ответ: $x_{min} = 3$.

Дана функция $f(x) = 12x - x^3$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (12x - x^3)' = 12 - 3x^2$.

2. Находим критические точки:

$12 - 3x^2 = 0$

$3x^2 = 12$

$x^2 = 4$

$x_1 = -2$, $x_2 = 2$.

3. Исследуем знак производной. График $f'(x)$ — это парабола с ветвями, направленными вниз.

На интервале $(-\infty, -2)$ производная $f'(x) < 0$ (функция убывает).

На интервале $(-2, 2)$ производная $f'(x) > 0$ (функция возрастает).

На интервале $(2, \infty)$ производная $f'(x) < 0$ (функция убывает).

4. В точке $x=-2$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума. В точке $x=2$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума.

Ответ: $x_{min} = -2$, $x_{max} = 2$.

Дана функция $f(x) = x^4 - 8x^2 + 5$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^4 - 8x^2 + 5)' = 4x^3 - 16x$.

2. Находим критические точки:

$4x^3 - 16x = 0$

$4x(x^2 - 4) = 0$

$4x(x-2)(x+2) = 0$

$x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$.

3. Исследуем знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$, $(0, 2)$, $(2, \infty)$.

При $x \in (-\infty, -2)$, $f'(x) < 0$ (убывает).

При $x \in (-2, 0)$, $f'(x) > 0$ (возрастает).

При $x \in (0, 2)$, $f'(x) < 0$ (убывает).

При $x \in (2, \infty)$, $f'(x) > 0$ (возрастает).

4. В точке $x=-2$ знак производной меняется с "−" на "+", это точка минимума. В точке $x=0$ знак меняется с "+" на "−", это точка максимума. В точке $x=2$ знак меняется с "−" на "+", это точка минимума.

Ответ: $x_{min} = -2$, $x_{min} = 2$, $x_{max} = 0$.

Дана функция $f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 7$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^3 - 6x^2 - 15x + 7)' = 3x^2 - 12x - 15$.

2. Находим критические точки:

$3x^2 - 12x - 15 = 0$

Разделим уравнение на 3: $x^2 - 4x - 5 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.

3. Исследуем знак производной. График $f'(x)$ — это парабола с ветвями, направленными вверх.

На интервале $(-\infty, -1)$ производная $f'(x) > 0$ (функция возрастает).

На интервале $(-1, 5)$ производная $f'(x) < 0$ (функция убывает).

На интервале $(5, \infty)$ производная $f'(x) > 0$ (функция возрастает).

4. В точке $x=-1$ производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимума. В точке $x=5$ производная меняет знак с минуса на плюс, это точка минимума.

Ответ: $x_{max} = -1$, $x_{min} = 5$.

Дана функция $f(x) = x^2 - \frac{x^4}{2}$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = \left(x^2 - \frac{x^4}{2}\right)' = 2x - \frac{4x^3}{2} = 2x - 2x^3$.

2. Находим критические точки:

$2x - 2x^3 = 0$

$2x(1 - x^2) = 0$

$2x(1-x)(1+x) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

3. Исследуем знаки производной на интервалах: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$, $(1, \infty)$.

При $x \in (-\infty, -1)$, $f'(x) > 0$ (возрастает).

При $x \in (-1, 0)$, $f'(x) < 0$ (убывает).

При $x \in (0, 1)$, $f'(x) > 0$ (возрастает).

При $x \in (1, \infty)$, $f'(x) < 0$ (убывает).

4. В точке $x=-1$ знак производной меняется с "+" на "−", это точка максимума. В точке $x=0$ знак меняется с "−" на "+", это точка минимума. В точке $x=1$ знак меняется с "+" на "−", это точка максимума.

Ответ: $x_{min} = 0$, $x_{max} = -1$, $x_{max} = 1$.