Номер 39.6, страница 289 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.6. Найдите точки минимума и максимума функции:

1) $f(x) = 0.5x^4$;

2) $f(x) = x^2 - 6x$;

3) $f(x) = 12x - x^3$;

4) $f(x) = x^4 - 8x^2 + 5$;

5) $f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 7$;

6) $f(x) = x^2 - \frac{x^4}{2}$.

Для нахождения точек минимума и максимума функции (точек экстремума) необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции.
2. Найти производную функции $f'(x)$.
3. Найти критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$.
4. Определить знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения.
5. Сделать вывод о наличии точек минимума или максимума. Если в критической точке производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимума. Если с минуса на плюс — это точка минимума.

Все представленные функции являются многочленами, их область определения — все действительные числа ($D(f) = (-\infty; +\infty)$).

Дана функция $f(x) = 0,5x^4$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (0,5x^4)' = 0,5 \cdot 4x^3 = 2x^3$.

2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:

$2x^3 = 0$

$x = 0$.

3. Исследуем знак производной в окрестности критической точки $x=0$.

При $x < 0$, производная $f'(x) = 2x^3 < 0$, следовательно, функция убывает.

При $x > 0$, производная $f'(x) = 2x^3 > 0$, следовательно, функция возрастает.

4. Поскольку при переходе через точку $x=0$ производная меняет знак с минуса на плюс, эта точка является точкой минимума.

Ответ: $x_{min} = 0$.

Дана функция $f(x) = x^2 - 6x$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^2 - 6x)' = 2x - 6$.

2. Находим критические точки:

$2x - 6 = 0$

$2x = 6$

$x = 3$.

3. Исследуем знак производной. $f'(x)$ — это линейная функция.

При $x < 3$, производная $f'(x) < 0$ (функция убывает).

При $x > 3$, производная $f'(x) > 0$ (функция возрастает).

4. При переходе через точку $x=3$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, $x=3$ является точкой минимума.

Ответ: $x_{min} = 3$.

Дана функция $f(x) = 12x - x^3$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (12x - x^3)' = 12 - 3x^2$.

2. Находим критические точки:

$12 - 3x^2 = 0$

$3x^2 = 12$

$x^2 = 4$

$x_1 = -2$, $x_2 = 2$.

3. Исследуем знак производной. График $f'(x)$ — это парабола с ветвями, направленными вниз.

На интервале $(-\infty, -2)$ производная $f'(x) < 0$ (функция убывает).

На интервале $(-2, 2)$ производная $f'(x) > 0$ (функция возрастает).

На интервале $(2, \infty)$ производная $f'(x) < 0$ (функция убывает).

4. В точке $x=-2$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума. В точке $x=2$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума.

Ответ: $x_{min} = -2$, $x_{max} = 2$.

Дана функция $f(x) = x^4 - 8x^2 + 5$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^4 - 8x^2 + 5)' = 4x^3 - 16x$.

2. Находим критические точки:

$4x^3 - 16x = 0$

$4x(x^2 - 4) = 0$

$4x(x-2)(x+2) = 0$

$x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$.

3. Исследуем знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$, $(0, 2)$, $(2, \infty)$.

При $x \in (-\infty, -2)$, $f'(x) < 0$ (убывает).

При $x \in (-2, 0)$, $f'(x) > 0$ (возрастает).

При $x \in (0, 2)$, $f'(x) < 0$ (убывает).

При $x \in (2, \infty)$, $f'(x) > 0$ (возрастает).

4. В точке $x=-2$ знак производной меняется с "−" на "+", это точка минимума. В точке $x=0$ знак меняется с "+" на "−", это точка максимума. В точке $x=2$ знак меняется с "−" на "+", это точка минимума.

Ответ: $x_{min} = -2$, $x_{min} = 2$, $x_{max} = 0$.

Дана функция $f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 7$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^3 - 6x^2 - 15x + 7)' = 3x^2 - 12x - 15$.

2. Находим критические точки:

$3x^2 - 12x - 15 = 0$

Разделим уравнение на 3: $x^2 - 4x - 5 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.

3. Исследуем знак производной. График $f'(x)$ — это парабола с ветвями, направленными вверх.

На интервале $(-\infty, -1)$ производная $f'(x) > 0$ (функция возрастает).

На интервале $(-1, 5)$ производная $f'(x) < 0$ (функция убывает).

На интервале $(5, \infty)$ производная $f'(x) > 0$ (функция возрастает).

4. В точке $x=-1$ производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимума. В точке $x=5$ производная меняет знак с минуса на плюс, это точка минимума.

Ответ: $x_{max} = -1$, $x_{min} = 5$.

Дана функция $f(x) = x^2 - \frac{x^4}{2}$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = \left(x^2 - \frac{x^4}{2}\right)' = 2x - \frac{4x^3}{2} = 2x - 2x^3$.

2. Находим критические точки:

$2x - 2x^3 = 0$

$2x(1 - x^2) = 0$

$2x(1-x)(1+x) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

3. Исследуем знаки производной на интервалах: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$, $(1, \infty)$.

При $x \in (-\infty, -1)$, $f'(x) > 0$ (возрастает).

При $x \in (-1, 0)$, $f'(x) < 0$ (убывает).

При $x \in (0, 1)$, $f'(x) > 0$ (возрастает).

При $x \in (1, \infty)$, $f'(x) < 0$ (убывает).

4. В точке $x=-1$ знак производной меняется с "+" на "−", это точка максимума. В точке $x=0$ знак меняется с "−" на "+", это точка минимума. В точке $x=1$ знак меняется с "+" на "−", это точка максимума.

Ответ: $x_{min} = 0$, $x_{max} = -1$, $x_{max} = 1$.