Номер 39.11, страница 290 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.11. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 6x^2 - 9;$

2) $f(x) = (x + 4)^4(x - 3)^3.$

1) Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума функции $f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 6x^2 - 9$, необходимо исследовать знак ее производной.

Сначала найдем производную функции:

$f'(x) = (3x^4 - 8x^3 + 6x^2 - 9)' = 3 \cdot 4x^3 - 8 \cdot 3x^2 + 6 \cdot 2x - 0 = 12x^3 - 24x^2 + 12x$.

Далее найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$12x^3 - 24x^2 + 12x = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $12x$:

$12x(x^2 - 2x + 1) = 0$

Выражение в скобках является полным квадратом $(x-1)^2$:

$12x(x-1)^2 = 0$

Корнями этого уравнения являются $x = 0$ и $x = 1$. Это критические точки функции.

Теперь определим знаки производной на интервалах, на которые эти точки разбивают числовую ось: $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$.

• При $x < 0$ (например, $x=-1$), $f'(-1) = 12(-1)(-1-1)^2 = -12 \cdot 4 = -48 < 0$. Следовательно, на промежутке $(-\infty, 0]$ функция убывает.
• При $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$), $f'(0.5) = 12(0.5)(0.5-1)^2 = 6(-0.5)^2 = 1.5 > 0$. Следовательно, на промежутке $[0, 1]$ функция возрастает.
• При $x > 1$ (например, $x=2$), $f'(2) = 12(2)(2-1)^2 = 24 \cdot 1 = 24 > 0$. Следовательно, на промежутке $[1, +\infty)$ функция возрастает.

Объединяя промежутки возрастания, получаем, что функция возрастает на $[0, +\infty)$.

Анализ смены знака производной в критических точках:

• В точке $x=0$ производная меняет знак с «–» на «+», значит, это точка локального минимума. $x_{min} = 0$.
• В точке $x=1$ производная не меняет знак (остается положительной), поэтому $x=1$ не является точкой экстремума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty, 0]$, точка минимума $x_{min} = 0$.

2) Найдем промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции $f(x) = (x+4)^4(x-3)^3$.

Найдем производную функции, используя правило произведения $(uv)'=u'v+uv'$:

$f'(x) = ((x+4)^4)'(x-3)^3 + (x+4)^4((x-3)^3)' = 4(x+4)^3(x-3)^3 + (x+4)^4 \cdot 3(x-3)^2$.

Вынесем общий множитель $(x+4)^3(x-3)^2$ за скобки:

$f'(x) = (x+4)^3(x-3)^2[4(x-3) + 3(x+4)]$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$f'(x) = (x+4)^3(x-3)^2[4x - 12 + 3x + 12] = (x+4)^3(x-3)^2(7x)$

Таким образом, $f'(x) = 7x(x+4)^3(x-3)^2$.

Найдем критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$7x(x+4)^3(x-3)^2 = 0$

Критические точки: $x_1 = -4$, $x_2 = 0$, $x_3 = 3$.

Определим знаки производной на интервалах. Так как множитель $(x-3)^2$ всегда неотрицателен, знак $f'(x)$ зависит от знаков множителей $x$ и $(x+4)^3$.

• При $x \in (-\infty, -4)$: $x < 0$, $x+4 < 0$. $f'(x)$ имеет вид $7(-)(-)^3(-)^2 = (+)$. Функция возрастает.
• При $x \in (-4, 0)$: $x < 0$, $x+4 > 0$. $f'(x)$ имеет вид $7(-)(+)^3(-)^2 = (-)$. Функция убывает.
• При $x \in (0, 3)$: $x > 0$, $x+4 > 0$. $f'(x)$ имеет вид $7(+)(+)^3(-)^2 = (+)$. Функция возрастает.
• При $x \in (3, +\infty)$: $x > 0$, $x+4 > 0$. $f'(x)$ имеет вид $7(+)(+)^3(+)^2 = (+)$. Функция возрастает.

Таким образом, функция возрастает на $(-\infty, -4]$ и на $[0, +\infty)$, а убывает на $[-4, 0]$.

Анализ смены знака производной в критических точках:

• В точке $x=-4$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка локального максимума. $x_{max} = -4$.
• В точке $x=0$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $x_{min} = 0$.
• В точке $x=3$ производная не меняет знак, поэтому $x=3$ не является точкой экстремума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -4]$ и $[0, +\infty)$, убывает на промежутке $[-4, 0]$, точка максимума $x_{max} = -4$, точка минимума $x_{min} = 0$.