Номер 39.15, страница 291 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.15. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = \frac{x^2 - 6x}{x + 2}$;

2) $f(x) = x + \frac{9}{x}$;

3) $f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 3}$;

4) $f(x) = \frac{1}{(x + 1)^2}$;

5) $f(x) = \frac{1}{16 - x^2}$;

6) $f(x) = 2x - \sqrt{x}$.

1) $f(x) = \frac{x^2 - 6x}{x + 2}$

1. Область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x + 2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$. Область определения $D(f) = (-\infty, -2) \cup (-2, \infty)$.

2. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(x^2 - 6x)'(x + 2) - (x^2 - 6x)(x + 2)'}{(x + 2)^2} = \frac{(2x - 6)(x + 2) - (x^2 - 6x) \cdot 1}{(x + 2)^2} = \frac{2x^2 + 4x - 6x - 12 - x^2 + 6x}{(x + 2)^2} = \frac{x^2 + 4x - 12}{(x + 2)^2}$.

3. Найдем критические точки. Для этого приравняем производную к нулю и найдем точки, в которых она не существует.
$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{x^2 + 4x - 12}{(x + 2)^2} = 0$.
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
$x^2 + 4x - 12 = 0$.
По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = -6$ и $x_2 = 2$.
Производная не существует в точке $x = -2$, но эта точка не входит в область определения функции, поэтому не может быть точкой экстремума. Однако, она влияет на интервалы монотонности.

4. Определим знаки производной на интервалах. Критические точки $x=-6, x=2$ и точка разрыва $x=-2$ разбивают числовую ось на интервалы: $(-\infty, -6)$, $(-6, -2)$, $(-2, 2)$, $(2, \infty)$.
Знак $f'(x)$ определяется знаком числителя $x^2 + 4x - 12$, так как знаменатель $(x+2)^2$ всегда положителен при $x \neq -2$. Парабола $y = x^2 + 4x - 12$ имеет ветви вверх.
- На интервале $(-\infty, -6)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает. - На интервале $(-6, -2)$: $f'(x) < 0$, функция убывает. - На интервале $(-2, 2)$: $f'(x) < 0$, функция убывает. - На интервале $(2, \infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. Определим точки экстремума.
В точке $x = -6$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка максимума: $x_{max} = -6$.
В точке $x = 2$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка минимума: $x_{min} = 2$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -6]$ и $[2, \infty)$, убывает на промежутках $[-6, -2)$ и $(-2, 2]$. Точка максимума $x_{max} = -6$, точка минимума $x_{min} = 2$.

2) $f(x) = x + \frac{9}{x}$

1. Область определения функции: $x \neq 0$. Таким образом, $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x + 9x^{-1})' = 1 - 9x^{-2} = 1 - \frac{9}{x^2} = \frac{x^2 - 9}{x^2}$.

3. Найдем критические точки.
$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{x^2 - 9}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x = \pm 3$.
Производная не существует в точке $x = 0$, которая не входит в область определения функции.

4. Определим знаки производной на интервалах, образованных точками $x = -3, x = 0, x = 3$: $(-\infty, -3)$, $(-3, 0)$, $(0, 3)$, $(3, \infty)$.
Знак $f'(x)$ зависит от знака числителя $x^2 - 9$.
- На интервале $(-\infty, -3)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает. - На интервале $(-3, 0)$: $f'(x) < 0$, функция убывает. - На интервале $(0, 3)$: $f'(x) < 0$, функция убывает. - На интервале $(3, \infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. Определим точки экстремума.
В точке $x = -3$ производная меняет знак с `+` на `-`, это точка максимума: $x_{max} = -3$.
В точке $x = 3$ производная меняет знак с `-` на `+`, это точка минимума: $x_{min} = 3$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -3]$ и $[3, \infty)$, убывает на промежутках $[-3, 0)$ и $(0, 3]$. Точка максимума $x_{max} = -3$, точка минимума $x_{min} = 3$.

3) $f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 3}$

1. Область определения функции: знаменатель $x^2 + 3$ всегда положителен, так как $x^2 \ge 0$. Следовательно, $D(f) = (-\infty, \infty)$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = \frac{(x^2)'(x^2 + 3) - x^2(x^2 + 3)'}{(x^2 + 3)^2} = \frac{2x(x^2 + 3) - x^2(2x)}{(x^2 + 3)^2} = \frac{2x^3 + 6x - 2x^3}{(x^2 + 3)^2} = \frac{6x}{(x^2 + 3)^2}$.

3. Найдем критические точки.
$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{6x}{(x^2 + 3)^2} = 0 \Rightarrow 6x = 0 \Rightarrow x = 0$.
Производная существует на всей области определения.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$.
Знак $f'(x)$ определяется знаком числителя $6x$, так как знаменатель всегда положителен.
- На интервале $(-\infty, 0)$: $f'(x) < 0$, функция убывает. - На интервале $(0, \infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. Определим точки экстремума.
В точке $x = 0$ производная меняет знак с `-` на `+`, это точка минимума: $x_{min} = 0$. Точек максимума нет.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, \infty)$, убывает на промежутке $(-\infty, 0]$. Точка минимума $x_{min} = 0$.

4) $f(x) = \frac{1}{(x + 1)^2}$

1. Область определения функции: $(x+1)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$. $D(f) = (-\infty, -1) \cup (-1, \infty)$.

2. Найдем производную функции:
$f(x) = (x + 1)^{-2}$
$f'(x) = -2(x + 1)^{-3} \cdot (x+1)' = -2(x + 1)^{-3} = \frac{-2}{(x + 1)^3}$.

3. Найдем критические точки.
Производная $f'(x)$ никогда не равна нулю, так как ее числитель равен -2.
Производная не существует в точке $x = -1$, которая не входит в область определения. Следовательно, у функции нет критических точек в области ее определения.

4. Исследуем знак производной на интервалах, разделенных точкой разрыва $x = -1$: $(-\infty, -1)$ и $(-1, \infty)$.
- На интервале $(-\infty, -1)$: $x+1 < 0$, значит $(x+1)^3 < 0$. Тогда $f'(x) = \frac{-2}{\text{отрицательное число}} > 0$, функция возрастает. - На интервале $(-1, \infty)$: $x+1 > 0$, значит $(x+1)^3 > 0$. Тогда $f'(x) = \frac{-2}{\text{положительное число}} < 0$, функция убывает.

5. Так как у функции нет критических точек, а в точке $x=-1$ она имеет разрыв (вертикальную асимптоту), то точек экстремума у функции нет.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, -1)$, убывает на промежутке $(-1, \infty)$. Точек экстремума нет.

5) $f(x) = \frac{1}{16 - x^2}$

1. Область определения функции: $16 - x^2 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq 16 \Rightarrow x \neq \pm 4$. $D(f) = (-\infty, -4) \cup (-4, 4) \cup (4, \infty)$.

2. Найдем производную функции:
$f(x) = (16 - x^2)^{-1}$
$f'(x) = -(16 - x^2)^{-2} \cdot (16-x^2)' = -(16 - x^2)^{-2} \cdot (-2x) = \frac{2x}{(16 - x^2)^2}$.

3. Найдем критические точки.
$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{2x}{(16 - x^2)^2} = 0 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0$.
Производная не существует в точках $x = \pm 4$, которые не входят в область определения функции.

4. Определим знаки производной на интервалах, разделенных точками $x=-4, x=0, x=4$: $(-\infty, -4)$, $(-4, 0)$, $(0, 4)$, $(4, \infty)$.
Знаменатель $(16 - x^2)^2$ всегда положителен (где определен), поэтому знак производной совпадает со знаком числителя $2x$.
- На интервалах $(-\infty, -4)$ и $(-4, 0)$: $2x < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает. - На интервалах $(0, 4)$ и $(4, \infty)$: $2x > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x = 0$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка минимума: $x_{min} = 0$. Точек максимума нет.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[0, 4)$ и $(4, \infty)$, убывает на промежутках $(-\infty, -4)$ и $(-4, 0]$. Точка минимума $x_{min} = 0$.

6) $f(x) = 2x - \sqrt{x}$

1. Область определения функции: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x \ge 0$. $D(f) = [0, \infty)$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (2x - x^{1/2})' = 2 - \frac{1}{2}x^{-1/2} = 2 - \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

3. Найдем критические точки. Область определения производной $D(f') = (0, \infty)$.
Приравняем производную к нулю:
$2 - \frac{1}{2\sqrt{x}} = 0 \Rightarrow 2 = \frac{1}{2\sqrt{x}} \Rightarrow 4\sqrt{x} = 1 \Rightarrow \sqrt{x} = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{1}{16}$.
Производная не существует в точке $x = 0$, которая является граничной точкой области определения функции, поэтому $x=0$ также является критической точкой.

4. Определим знаки производной на интервалах $(0, 1/16)$ и $(1/16, \infty)$.
- На интервале $(0, 1/16)$: например, при $x=1/25$, $f'(\frac{1}{25}) = 2 - \frac{1}{2\sqrt{1/25}} = 2 - \frac{5}{2} = -0.5 < 0$, функция убывает. - На интервале $(1/16, \infty)$: например, при $x=1$, $f'(1) = 2 - \frac{1}{2\sqrt{1}} = 1.5 > 0$, функция возрастает.

5. Определим точки экстремума.
В точке $x = 1/16$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка минимума: $x_{min} = 1/16$.
Точка $x = 0$ является левой границей области определения. Так как на интервале $[0, 1/16]$ функция убывает, то в точке $x=0$ она принимает наибольшее значение по сравнению с близкими точками справа. Следовательно, $x=0$ является точкой локального максимума: $x_{max} = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[1/16, \infty)$, убывает на промежутке $[0, 1/16]$. Точка максимума $x_{max} = 0$, точка минимума $x_{min} = 1/16$.