Номер 39.19, страница 291 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.19. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = \cos x + \frac{x}{2}$;

2) $f(x) = \sin 2x - x\sqrt{2}$.

1) $f(x) = \cos x + \frac{x}{2}$

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума, необходимо исследовать знак производной функции.

1. Найдем область определения функции. Функция определена для всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\cos x + \frac{x}{2})' = -\sin x + \frac{1}{2}$

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0 \implies -\sin x + \frac{1}{2} = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2}$

Решениями этого уравнения являются точки $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in Z$.

4. Определим промежутки знакопостоянства производной, чтобы найти промежутки монотонности функции.

Функция возрастает, когда $f'(x) > 0$:

$-\sin x + \frac{1}{2} > 0 \implies \sin x < \frac{1}{2}$

Это неравенство выполняется на промежутках $(-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{\pi}{6} + 2\pi n)$, $n \in Z$.

Функция убывает, когда $f'(x) < 0$:

$-\sin x + \frac{1}{2} < 0 \implies \sin x > \frac{1}{2}$

Это неравенство выполняется на промежутках $(\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{6} + 2\pi n)$, $n \in Z$.

5. Найдем точки экстремума. Экстремумы достигаются в критических точках, где производная меняет знак.

Критические точки можно разделить на две серии:

При $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ (соответствует четным $n$ в общей формуле), знак производной меняется с «+» на «-». Следовательно, это точки максимума.

При $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ (соответствует нечетным $n$ в общей формуле), знак производной меняется с «-» на «+». Следовательно, это точки минимума.

Ответ:

Промежутки возрастания: $[-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{\pi}{6} + 2\pi n]$, $n \in Z$.

Промежутки убывания: $[\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{6} + 2\pi n]$, $n \in Z$.

Точки максимума: $x_{max} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in Z$.

Точки минимума: $x_{min} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in Z$.

2) $f(x) = \sin 2x - x\sqrt{2}$

Действуем по аналогии с предыдущим заданием.

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sin 2x - x\sqrt{2})' = (\sin 2x)' - (x\sqrt{2})' = 2\cos 2x - \sqrt{2}$

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0 \implies 2\cos 2x - \sqrt{2} = 0 \implies \cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решениями этого уравнения являются:

$2x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

$x = \pm \frac{\pi}{8} + \pi n$, где $n \in Z$.

4. Определим промежутки знакопостоянства производной.

Функция возрастает, когда $f'(x) > 0$:

$2\cos 2x - \sqrt{2} > 0 \implies \cos 2x > \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решая неравенство, получаем: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < 2x < \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, откуда $-\frac{\pi}{8} + \pi n < x < \frac{\pi}{8} + \pi n$, $n \in Z$.

Функция убывает, когда $f'(x) < 0$:

$2\cos 2x - \sqrt{2} < 0 \implies \cos 2x < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решая неравенство, получаем: $\frac{\pi}{4} + 2\pi n < 2x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$, откуда $\frac{\pi}{8} + \pi n < x < \frac{7\pi}{8} + \pi n$, $n \in Z$.

5. Найдем точки экстремума.

В точках $x = \frac{\pi}{8} + \pi n$ знак производной меняется с «+» на «-». Следовательно, это точки максимума.

В точках $x = -\frac{\pi}{8} + \pi n$ знак производной меняется с «-» на «+». Следовательно, это точки минимума.

Ответ:

Промежутки возрастания: $[-\frac{\pi}{8} + \pi n, \frac{\pi}{8} + \pi n]$, $n \in Z$.

Промежутки убывания: $[\frac{\pi}{8} + \pi n, \frac{7\pi}{8} + \pi n]$, $n \in Z$.

Точки максимума: $x_{max} = \frac{\pi}{8} + \pi n$, $n \in Z$.

Точки минимума: $x_{min} = -\frac{\pi}{8} + \pi n$, $n \in Z$.