Номер 39.24, страница 292 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.24. Найдите наименьшее значение функции $y=3x^2 - 18x + 2$ на отрезке:

1) $[-1; 4]$; 2) $[-4; 1]$; 3) $[4; 5]$.

Для нахождения наименьшего значения квадратичной функции $y = 3x^2 - 18x + 2$ на заданном отрезке, сначала найдем координаты вершины параболы, которая является графиком этой функции. Так как коэффициент при $x^2$ равен 3 (положительное число), ветви параболы направлены вверх, и в вершине находится точка минимума функции.

Абсцисса вершины $x_0$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{-18}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$.

Ордината вершины, которая является наименьшим значением функции на всей числовой прямой:

$y_0 = y(3) = 3(3)^2 - 18(3) + 2 = 27 - 54 + 2 = -25$.

Наименьшее значение функции на отрезке достигается либо в вершине параболы (если она принадлежит отрезку), либо на одном из концов отрезка.

1) Найдем наименьшее значение на отрезке $[-1; 4]$.

Точка минимума функции $x_0 = 3$ принадлежит данному отрезку, так как $-1 \le 3 \le 4$. Следовательно, наименьшее значение функции на этом отрезке нужно искать среди значений в точке $x_0=3$ и на концах отрезка $x=-1$ и $x=4$.

Значение в вершине:

$y(3) = -25$.

Значения на концах отрезка:

$y(-1) = 3(-1)^2 - 18(-1) + 2 = 3 + 18 + 2 = 23$.

$y(4) = 3(4)^2 - 18(4) + 2 = 3 \cdot 16 - 72 + 2 = 48 - 72 + 2 = -22$.

Сравниваем полученные значения: $y(3)=-25$, $y(-1)=23$, $y(4)=-22$. Наименьшее из них равно -25.

Ответ: -25

2) Найдем наименьшее значение на отрезке $[-4; 1]$.

Точка минимума функции $x_0 = 3$ не принадлежит данному отрезку. Так как весь отрезок $[-4; 1]$ находится левее вершины, функция на этом отрезке монотонно убывает. Следовательно, наименьшее значение достигается на правом конце отрезка, в точке $x=1$.

Вычислим значение функции в этой точке:

$y(1) = 3(1)^2 - 18(1) + 2 = 3 - 18 + 2 = -13$.

Ответ: -13

3) Найдем наименьшее значение на отрезке $[4; 5]$.

Точка минимума функции $x_0 = 3$ не принадлежит данному отрезку. Так как весь отрезок $[4; 5]$ находится правее вершины, функция на этом отрезке монотонно возрастает. Следовательно, наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, в точке $x=4$.

Вычислим значение функции в этой точке:

$y(4) = 3(4)^2 - 18(4) + 2 = 3 \cdot 16 - 72 + 2 = 48 - 72 + 2 = -22$.

Ответ: -22