Номер 39.23, страница 292 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.23. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = x^2\sqrt{x+2};$

2) $f(x) = (x-2)^2\sqrt{x};$

3) $f(x) = \frac{3x+1}{\sqrt{x-1}}.$

Рассмотрим функцию $f(x) = x^2\sqrt{x+2}$.

1. Область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+2 \ge 0$, откуда $x \ge -2$. Таким образом, область определения $D(f) = [-2, +\infty)$.

2. Найдем производную функции, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$: $f'(x) = (x^2)'\sqrt{x+2} + x^2(\sqrt{x+2})' = 2x\sqrt{x+2} + x^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+2}}$.

Приведем производную к общему знаменателю: $f'(x) = \frac{2x\sqrt{x+2} \cdot 2\sqrt{x+2} + x^2}{2\sqrt{x+2}} = \frac{4x(x+2) + x^2}{2\sqrt{x+2}} = \frac{4x^2 + 8x + x^2}{2\sqrt{x+2}} = \frac{5x^2 + 8x}{2\sqrt{x+2}} = \frac{x(5x+8)}{2\sqrt{x+2}}$.

3. Найдем критические точки. Это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Производная не существует при $x = -2$ (крайняя точка области определения). Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$. $\frac{x(5x+8)}{2\sqrt{x+2}} = 0$. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. $x(5x+8) = 0$. Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -8/5 = -1.6$. Обе точки принадлежат области определения.

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые область определения разбивается критическими точками: $[-2, -1.6]$, $[-1.6, 0]$, $[0, +\infty)$. Знаменатель производной $2\sqrt{x+2}$ положителен при $x > -2$. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $x(5x+8)$.

• На интервале $(-2, -1.6)$: $f'(x) > 0$ (например, при $x=-1.8$ имеем $(-)(-) > 0$), функция возрастает.

• На интервале $(-1.6, 0)$: $f'(x) < 0$ (например, при $x=-1$ имеем $(-)(+) < 0$), функция убывает.

• На интервале $(0, +\infty)$: $f'(x) > 0$ (например, при $x=1$ имеем $(+)(+) > 0$), функция возрастает.

Таким образом, функция возрастает на промежутках $[-2, -1.6]$ и $[0, +\infty)$, и убывает на промежутке $[-1.6, 0]$.

5. Найдем точки экстремума.

• В точке $x = -1.6$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка локального максимума: $x_{max} = -1.6$.

• В точке $x = 0$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка локального минимума: $x_{min} = 0$.

• Точка $x=-2$ является граничной точкой области определения. Так как функция возрастает на отрезке $[-2, -1.6]$, то $x=-2$ является точкой локального минимума.

Ответ: Промежутки возрастания: $[-2, -1.6]$ и $[0, +\infty)$. Промежуток убывания: $[-1.6, 0]$. Точка максимума: $x_{max} = -1.6$. Точки минимума: $x_{min} = -2$ и $x_{min} = 0$.

Рассмотрим функцию $f(x) = (x-2)^2\sqrt{x}$.

1. Область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Таким образом, область определения $D(f) = [0, +\infty)$.

2. Найдем производную функции: $f'(x) = ((x-2)^2)'\sqrt{x} + (x-2)^2(\sqrt{x})' = 2(x-2)\sqrt{x} + (x-2)^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Приведем к общему знаменателю и упростим: $f'(x) = \frac{2(x-2)\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x} + (x-2)^2}{2\sqrt{x}} = \frac{4x(x-2) + (x-2)^2}{2\sqrt{x}}$. Вынесем общий множитель $(x-2)$: $f'(x) = \frac{(x-2)(4x + x - 2)}{2\sqrt{x}} = \frac{(x-2)(5x-2)}{2\sqrt{x}}$.

3. Найдем критические точки. Производная не существует при $x = 0$ (крайняя точка области определения). Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$. $\frac{(x-2)(5x-2)}{2\sqrt{x}} = 0$. $(x-2)(5x-2) = 0$. Критические точки: $x_1 = 2$ и $x_2 = 2/5 = 0.4$. Обе точки принадлежат области определения.

4. Определим знаки производной на интервалах $[0, 0.4]$, $[0.4, 2]$, $[2, +\infty)$. Знаменатель $2\sqrt{x}$ положителен при $x > 0$. Знак $f'(x)$ определяется знаком числителя $(x-2)(5x-2)$.

• На интервале $(0, 0.4)$: $f'(x) > 0$ (например, при $x=0.1$ имеем $(-)(-) > 0$), функция возрастает.

• На интервале $(0.4, 2)$: $f'(x) < 0$ (например, при $x=1$ имеем $(-)(+) < 0$), функция убывает.

• На интервале $(2, +\infty)$: $f'(x) > 0$ (например, при $x=3$ имеем $(+)(+) > 0$), функция возрастает.

Таким образом, функция возрастает на промежутках $[0, 0.4]$ и $[2, +\infty)$, и убывает на промежутке $[0.4, 2]$.

5. Найдем точки экстремума.

• В точке $x = 0.4$ производная меняет знак с `+` на `-`, это точка локального максимума: $x_{max} = 0.4$.

• В точке $x = 2$ производная меняет знак с `-` на `+`, это точка локального минимума: $x_{min} = 2$.

• Точка $x=0$ является граничной точкой. Так как функция возрастает на отрезке $[0, 0.4]$, то $x=0$ является точкой локального минимума.

Ответ: Промежутки возрастания: $[0, 0.4]$ и $[2, +\infty)$. Промежуток убывания: $[0.4, 2]$. Точка максимума: $x_{max} = 0.4$. Точки минимума: $x_{min} = 0$ и $x_{min} = 2$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{3x+1}{\sqrt{x-1}}$.

1. Область определения функции. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $x-1 > 0$, откуда $x > 1$. Таким образом, область определения $D(f) = (1, +\infty)$.

2. Найдем производную функции, используя правило производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $f'(x) = \frac{(3x+1)'\sqrt{x-1} - (3x+1)(\sqrt{x-1})'}{(\sqrt{x-1})^2} = \frac{3\sqrt{x-1} - (3x+1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}}}{x-1}$.

Упростим выражение: $f'(x) = \frac{\frac{3\sqrt{x-1} \cdot 2\sqrt{x-1} - (3x+1)}{2\sqrt{x-1}}}{x-1} = \frac{6(x-1) - (3x+1)}{2\sqrt{x-1}(x-1)} = \frac{6x - 6 - 3x - 1}{2(x-1)^{3/2}} = \frac{3x-7}{2(x-1)\sqrt{x-1}}$.

3. Найдем критические точки. Производная существует на всей области определения. Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$. $\frac{3x-7}{2(x-1)\sqrt{x-1}} = 0$. $3x-7 = 0$. $x = 7/3$. Эта точка принадлежит области определения ($7/3 \approx 2.33 > 1$).

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые область определения разбивается критической точкой: $(1, 7/3)$ и $(7/3, +\infty)$. Знаменатель $2(x-1)\sqrt{x-1}$ положителен на всей области определения. Знак $f'(x)$ определяется знаком числителя $3x-7$.

• На интервале $(1, 7/3)$: $f'(x) < 0$ (например, при $x=2$ имеем $6-7 < 0$), функция убывает.

• На интервале $(7/3, +\infty)$: $f'(x) > 0$ (например, при $x=3$ имеем $9-7 > 0$), функция возрастает.

Таким образом, функция убывает на промежутке $(1, 7/3]$ и возрастает на промежутке $[7/3, +\infty)$.

5. Найдем точки экстремума. В точке $x = 7/3$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка локального минимума: $x_{min} = 7/3$. Точек максимума у функции нет.

Ответ: Промежуток возрастания: $[7/3, +\infty)$. Промежуток убывания: $(1, 7/3]$. Точка минимума: $x_{min} = 7/3$.