Номер 39.17, страница 291 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.17. Верно ли утверждение:

1) в точке экстремума производная функции равна нулю;

2) если функция в некоторой точке недифференцируема, то эта точка является точкой экстремума функции?

1) в точке экстремума производная функции равна нулю;

Данное утверждение неверно. Согласно необходимому условию экстремума (теореме Ферма), если функция $f(x)$ дифференцируема в точке экстремума $x_0$, то её производная в этой точке равна нулю: $f'(x_0)=0$. Однако утверждение в задаче не содержит условия дифференцируемости, а функция может иметь экстремум и в точке, где она не является дифференцируемой.

Рассмотрим в качестве контрпримера функцию модуля $f(x) = |x|$. Эта функция имеет точку минимума при $x=0$, поскольку $f(0)=0$ и $f(x) \geq 0$ для всех действительных $x$.

Проверим дифференцируемость функции в точке $x=0$. Для этого вычислим односторонние производные:
Левосторонняя производная: $f'_{-}(0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{|0+\Delta x| - |0|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{-\Delta x}{\Delta x} = -1$.
Правосторонняя производная: $f'_{+}(0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{|0+\Delta x| - |0|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1$.

Поскольку односторонние производные в точке $x=0$ не равны ($ -1 \neq 1 $), производная $f'(0)$ не существует. Таким образом, мы нашли точку экстремума ($x=0$), в которой производная функции не равна нулю (поскольку не существует). Следовательно, исходное утверждение неверно.

Ответ: утверждение неверно.

2) если функция в некоторой точке недифференцируема, то эта точка является точкой экстремума функции?

Данное утверждение также неверно. Точка, в которой функция недифференцируема, является критической точкой, но не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Рассмотрим в качестве контрпримера функцию кубического корня $f(x) = \sqrt[3]{x}$. Эта функция непрерывна на всей числовой оси. Найдем ее производную:

$f'(x) = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

Производная существует при всех $x \neq 0$. В точке $x=0$ знаменатель обращается в ноль, и производная не существует. Следовательно, функция недифференцируема в точке $x=0$.

Проверим, является ли $x=0$ точкой экстремума. Значение функции в этой точке $f(0) = 0$. Для любого сколь угодно малого $\epsilon > 0$ имеем:
$f(-\epsilon) = \sqrt[3]{-\epsilon} = -\sqrt[3]{\epsilon} < f(0)$
$f(\epsilon) = \sqrt[3]{\epsilon} > f(0)$

В любой окрестности точки $x=0$ есть значения функции как меньшие $f(0)$, так и большие $f(0)$. Это означает, что $x=0$ не является ни точкой локального минимума, ни точкой локального максимума. Таким образом, мы нашли точку $x=0$, где функция недифференцируема, но которая не является точкой экстремума. Следовательно, исходное утверждение неверно.

Ответ: утверждение неверно.