Номер 39.13, страница 290 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.13. Докажите, что данная функция не имеет точек экстремума:

1) $f(x) = 6x^5 - 15x^4 + 10x^3 - 20$;

2) $f(x) = \cos x + x$.

1) Для того чтобы доказать, что функция не имеет точек экстремума, необходимо исследовать ее производную. Точки экстремума (минимума или максимума) могут существовать только в тех точках, где производная функции равна нулю или не существует (критические точки), и при этом знак производной меняется при переходе через эти точки.

Дана функция $f(x) = 6x^5 - 15x^4 + 10x^3 - 20$.

Найдем ее производную: $f'(x) = (6x^5 - 15x^4 + 10x^3 - 20)' = 30x^4 - 60x^3 + 30x^2$.

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $30x^4 - 60x^3 + 30x^2 = 0$.

Вынесем общий множитель $30x^2$ за скобки: $30x^2(x^2 - 2x + 1) = 0$.

Выражение в скобках является полным квадратом: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$. Получаем уравнение: $30x^2(x-1)^2 = 0$.

Это уравнение имеет два корня: $x=0$ и $x=1$. Это критические точки.

Теперь проанализируем знак производной $f'(x) = 30x^2(x-1)^2$ на всей числовой оси. Множитель $30$ — положительное число. Множитель $x^2$ всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$ для любого $x$. Множитель $(x-1)^2$ также всегда неотрицателен, то есть $(x-1)^2 \ge 0$ для любого $x$.

Следовательно, их произведение $f'(x) = 30x^2(x-1)^2 \ge 0$ для всех действительных значений $x$. Производная функции никогда не бывает отрицательной. Она обращается в ноль в точках $x=0$ и $x=1$, но не меняет свой знак при переходе через эти точки. Это означает, что функция является монотонно неубывающей на всей своей области определения и не имеет точек экстремума.

Ответ: Поскольку производная функции $f'(x) = 30x^2(x-1)^2$ неотрицательна для всех $x$ и не меняет знак, данная функция не имеет точек экстремума.

2) Рассмотрим функцию $f(x) = \cos x + x$.

Найдем ее производную: $f'(x) = (\cos x + x)' = -\sin x + 1$.

Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю: $1 - \sin x = 0$, $\sin x = 1$.

Критическими точками являются $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь проанализируем знак производной $f'(x) = 1 - \sin x$. Известно, что область значений функции синус ограничена отрезком $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$ для любого $x$.

Это означает, что выражение $1 - \sin x$ всегда будет больше или равно нулю: $f'(x) = 1 - \sin x \ge 1 - 1 = 0$.

Производная функции $f'(x)$ неотрицательна для всех $x$. Она обращается в ноль в критических точках, но не меняет свой знак при переходе через них (она остается неотрицательной). Следовательно, функция $f(x)$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси.

Ответ: Так как производная $f'(x) = 1 - \sin x$ всегда неотрицательна и не меняет знак, функция не имеет точек экстремума.