Номер 39.10, страница 290 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.10. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^3 + 7;$

2) $f(x) = (x - 1)^3(x - 2)^2;$

3) $f(x) = \frac{1}{6}x^6 + \frac{4}{5}x^5 + x^4 + 3.$

1) $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^3 + 7$
Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также точек экстремума функции, воспользуемся алгоритмом исследования функции с помощью производной.
1. Область определения функции. Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Находим производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{4}x^4 - 2x^3 + 7)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^{4-1} - 2 \cdot 3x^{3-1} + 0 = x^3 - 6x^2$.
3. Находим критические точки функции. Для этого приравниваем производную к нулю:
$f'(x) = 0 \implies x^3 - 6x^2 = 0$.
Выносим общий множитель за скобки:
$x^2(x - 6) = 0$.
Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.
4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось: $(-\infty; 0)$, $(0; 6)$ и $(6; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; 0)$ возьмем точку $x = -1$. $f'(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 = -1 - 6 = -7 < 0$. Значит, функция убывает на этом интервале.
- На интервале $(0; 6)$ возьмем точку $x = 1$. $f'(1) = 1^3 - 6(1)^2 = 1 - 6 = -5 < 0$. Значит, функция также убывает на этом интервале.
- На интервале $(6; +\infty)$ возьмем точку $x = 10$. $f'(10) = 10^3 - 6(10)^2 = 1000 - 600 = 400 > 0$. Значит, функция возрастает на этом интервале.
5. Определяем точки экстремума.
- В точке $x = 0$ производная не меняет свой знак (слева «минус» и справа «минус»), поэтому $x=0$ не является точкой экстремума.
- В точке $x = 6$ производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Следовательно, $x=6$ — точка минимума.
Найдем значение функции в этой точке: $f(6) = \frac{1}{4}(6)^4 - 2(6)^3 + 7 = \frac{1296}{4} - 2(216) + 7 = 324 - 432 + 7 = -101$.
Таким образом, функция убывает на промежутке $(-\infty; 6]$ и возрастает на промежутке $[6; +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[6; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 6]$, точка минимума $x_{min} = 6$.

2) $f(x) = (x - 1)^3(x - 2)^2$
1. Область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Находим производную функции, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$f'(x) = ((x - 1)^3)'(x - 2)^2 + (x - 1)^3((x - 2)^2)' = 3(x - 1)^2(x - 2)^2 + (x - 1)^3 \cdot 2(x - 2)$.
Вынесем общие множители $(x-1)^2$ и $(x-2)$ за скобки:
$f'(x) = (x - 1)^2(x - 2)[3(x - 2) + 2(x - 1)] = (x - 1)^2(x - 2)(3x - 6 + 2x - 2) = (x - 1)^2(x - 2)(5x - 8)$.
3. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:
$(x - 1)^2(x - 2)(5x - 8) = 0$.
Критические точки: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = \frac{8}{5} = 1.6$.
4. Исследуем знак производной на интервалах: $(-\infty; 1)$, $(1; 1.6)$, $(1.6; 2)$, $(2; +\infty)$. Множитель $(x-1)^2$ всегда неотрицателен и не влияет на знак производной (кроме точки $x=1$).
- На интервале $(-\infty; 1)$ возьмем $x = 0$: $f'(0) = (-1)^2(-2)(-8) = 16 > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(1; 1.6)$ возьмем $x = 1.5$: $f'(1.5) = (0.5)^2(-0.5)(7.5 - 8) = (0.25)(-0.5)(-0.5) > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(1.6; 2)$ возьмем $x = 1.8$: $f'(1.8) = (0.8)^2(-0.2)(9-8) < 0$, функция убывает.
- На интервале $(2; +\infty)$ возьмем $x = 3$: $f'(3) = (2)^2(1)(15-8) = 28 > 0$, функция возрастает.
5. Определяем точки экстремума.
- В точке $x = 1$ производная не меняет знак, значит, это не точка экстремума.
- В точке $x = 1.6$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума. $x_{max} = 1.6$.
- В точке $x = 2$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума. $x_{min} = 2$.
Значение функции в точке минимума: $f(2) = (2-1)^3(2-2)^2 = 0$.
Значение функции в точке максимума: $f(1.6) = (1.6-1)^3(1.6-2)^2 = (0.6)^3(-0.4)^2 = 0.216 \cdot 0.16 = 0.03456$. Или в дробях: $f(\frac{8}{5}) = (\frac{8}{5}-1)^3(\frac{8}{5}-2)^2 = (\frac{3}{5})^3(-\frac{2}{5})^2 = \frac{27}{125} \cdot \frac{4}{25} = \frac{108}{3125}$.
Промежутки возрастания: $(-\infty; 1.6]$. Промежуток убывания: $[1.6; 2]$. Промежуток возрастания: $[2; +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 1.6]$ и $[2; +\infty)$, убывает на промежутке $[1.6; 2]$, точка максимума $x_{max} = 1.6$, точка минимума $x_{min} = 2$.

3) $f(x) = \frac{1}{6}x^6 + \frac{4}{5}x^5 + x^4 + 3$
1. Область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Находим производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{6}x^6 + \frac{4}{5}x^5 + x^4 + 3)' = \frac{1}{6} \cdot 6x^5 + \frac{4}{5} \cdot 5x^4 + 4x^3 = x^5 + 4x^4 + 4x^3$.
3. Находим критические точки:
$f'(x) = 0 \implies x^5 + 4x^4 + 4x^3 = 0$.
Вынесем общий множитель $x^3$ за скобки:
$x^3(x^2 + 4x + 4) = 0$.
$x^3(x+2)^2 = 0$.
Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.
4. Исследуем знак производной на интервалах: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; +\infty)$. Множитель $(x+2)^2$ всегда неотрицателен, поэтому знак производной определяется знаком множителя $x^3$.
- На интервале $(-\infty; -2)$ возьмем $x = -3$: $f'(-3) = (-3)^3(-3+2)^2 = -27 \cdot 1 < 0$, функция убывает.
- На интервале $(-2; 0)$ возьмем $x = -1$: $f'(-1) = (-1)^3(-1+2)^2 = -1 \cdot 1 < 0$, функция убывает.
- На интервале $(0; +\infty)$ возьмем $x = 1$: $f'(1) = 1^3(1+2)^2 = 9 > 0$, функция возрастает.
5. Определяем точки экстремума.
- В точке $x = -2$ производная не меняет знак, поэтому $x=-2$ не является точкой экстремума.
- В точке $x = 0$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума. $x_{min} = 0$.
Найдем значение функции в точке минимума: $f(0) = \frac{1}{6}(0)^6 + \frac{4}{5}(0)^5 + (0)^4 + 3 = 3$.
Промежуток убывания: $(-\infty; 0]$. Промежуток возрастания: $[0; +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 0]$, точка минимума $x_{min} = 0$.