Номер 39.16, страница 291 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.16. Верно ли утверждение:

1) значение функции в точке максимума может быть меньше значения функции в точке минимума;

2) функция в точке экстремума может быть недифференцируемой;

3) если производная в некоторой точке равна нулю, то эта точка является точкой экстремума функции?

1) значение функции в точке максимума может быть меньше значения функции в точке минимума;
Да, это утверждение верно. Понятия локального максимума и локального минимума являются локальными. Точка $x_{max}$ называется точкой локального максимума, если существует такая ее окрестность, в которой $f(x_{max})$ является наибольшим значением функции. Аналогично, точка $x_{min}$ называется точкой локального минимума, если в ее окрестности $f(x_{min})$ является наименьшим значением. При этом не существует требования, чтобы значение в любой точке максимума было больше значения в любой точке минимума.
Рассмотрим в качестве примера функцию $f(x) = \frac{1}{5}x^5 - \frac{5}{3}x^3 + 4x$.
Найдем ее производную: $f'(x) = x^4 - 5x^2 + 4$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Замена $t = x^2$ ($t \ge 0$) дает $t^2 - 5t + 4 = 0$. Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = 4$.
Возвращаясь к $x$, получаем $x^2 = 1 \implies x = \pm 1$ и $x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
Чтобы определить тип экстремума, найдем вторую производную: $f''(x) = 4x^3 - 10x$.
Проверим знаки второй производной в точках $x = -2$ и $x = 2$:

• При $x = -2$: $f''(-2) = 4(-2)^3 - 10(-2) = -32 + 20 = -12 < 0$. Следовательно, $x=-2$ — точка локального максимума.
• При $x = 2$: $f''(2) = 4(2)^3 - 10(2) = 32 - 20 = 12 > 0$. Следовательно, $x=2$ — точка локального минимума.

Теперь вычислим значения функции в этих точках:
Значение в точке максимума: $f(-2) = \frac{1}{5}(-2)^5 - \frac{5}{3}(-2)^3 + 4(-2) = -\frac{32}{5} + \frac{40}{3} - 8 = \frac{-96 + 200 - 120}{15} = -\frac{16}{15}$.
Значение в точке минимума: $f(2) = \frac{1}{5}(2)^5 - \frac{5}{3}(2)^3 + 4(2) = \frac{32}{5} - \frac{40}{3} + 8 = \frac{96 - 200 + 120}{15} = \frac{16}{15}$.
Таким образом, значение функции в точке локального максимума $f(-2) = -16/15$ оказалось меньше значения в точке локального минимума $f(2) = 16/15$.
Ответ: да, верно.

2) функция в точке экстремума может быть недифференцируемой;
Да, это утверждение верно. Согласно определению, точка экстремума — это точка, в которой функция достигает своего наибольшего или наименьшего значения в некоторой окрестности этой точки. Точки экстремума ищутся среди критических точек функции. Критическими точками называются внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует.
Рассмотрим классический пример — функцию $f(x) = |x|$.
Эта функция имеет точку локального (и глобального) минимума в точке $x=0$, так как $f(0) = 0$ и $f(x) > 0$ для всех $x \neq 0$.
Однако производная этой функции в точке $x=0$ не существует. Чтобы это показать, рассмотрим односторонние пределы отношения приращений:
Производная справа: $f'_+(0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{|0+\Delta x| - |0|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1$.
Производная слева: $f'_{-}(0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{|0+\Delta x| - |0|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{-\Delta x}{\Delta x} = -1$.
Так как односторонние производные не равны ($1 \neq -1$), производная в точке $x=0$ не существует. Таким образом, функция имеет экстремум (минимум) в точке, где она недифференцируема.
Ответ: да, верно.

3) если производная в некоторой точке равна нулю, то эта точка является точкой экстремума функции?
Нет, это утверждение неверно. Условие равенства производной нулю ($f'(x_0)=0$) является необходимым, но не достаточным условием для существования экстремума в точке $x_0$ (для дифференцируемых функций). Точка, в которой производная равна нулю, называется стационарной. Стационарная точка может быть точкой максимума, точкой минимума или точкой перегиба.
Рассмотрим в качестве контрпримера функцию $f(x) = x^3$.
Ее производная $f'(x) = 3x^2$.
В точке $x=0$ производная равна нулю: $f'(0) = 3 \cdot 0^2 = 0$.
Однако точка $x=0$ не является точкой экстремума. Проверим значения функции в окрестности этой точки:

• Для любого $x > 0$, $f(x) = x^3 > 0 = f(0)$.
• Для любого $x < 0$, $f(x) = x^3 < 0 = f(0)$.

Это означает, что в любой окрестности точки $x=0$ существуют значения функции как большие, так и меньшие, чем $f(0)$. Следовательно, $x=0$ не является ни точкой максимума, ни точкой минимума. Эта точка является точкой перегиба, в которой касательная к графику функции горизонтальна.
Ответ: нет, неверно.