Номер 39.22, страница 292 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.22. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = x^2\sqrt{1-x}$;

2) $f(x) = (1-x)\sqrt{x}$;

3) $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x+1}$;

4) $f(x) = \frac{2x-7}{\sqrt{3-x}}$.

1)

Дана функция $f(x) = x^2\sqrt{1-x}$.

Сначала найдём область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $1-x \ge 0$, откуда следует, что $x \le 1$. Таким образом, область определения функции $D(f) = (-\infty, 1]$.

Далее найдём производную функции, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x^2)'\sqrt{1-x} + x^2(\sqrt{1-x})' = 2x\sqrt{1-x} + x^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot (-1) = 2x\sqrt{1-x} - \frac{x^2}{2\sqrt{1-x}}$.

Приведём выражение к общему знаменателю для удобства анализа:

$f'(x) = \frac{2x\sqrt{1-x} \cdot 2\sqrt{1-x} - x^2}{2\sqrt{1-x}} = \frac{4x(1-x) - x^2}{2\sqrt{1-x}} = \frac{4x - 4x^2 - x^2}{2\sqrt{1-x}} = \frac{4x - 5x^2}{2\sqrt{1-x}} = \frac{x(4-5x)}{2\sqrt{1-x}}$.

Найдём критические точки, в которых производная равна нулю или не существует.Производная $f'(x) = 0$, если её числитель равен нулю: $x(4-5x) = 0$. Отсюда получаем $x_1 = 0$ и $x_2 = 4/5$.Производная не существует, если её знаменатель равен нулю: $2\sqrt{1-x} = 0$, что даёт $x_3=1$.Все найденные точки ($0$, $4/5$ и $1$) принадлежат области определения функции.

Теперь исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения: $(-\infty, 0)$, $(0, 4/5)$ и $(4/5, 1)$. Знаменатель $2\sqrt{1-x}$ положителен для всех $x < 1$, поэтому знак $f'(x)$ определяется знаком числителя $x(4-5x)$.- На интервале $(-\infty, 0)$: $x<0$ и $4-5x>0$, произведение отрицательно. $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.- На интервале $(0, 4/5)$: $x>0$ и $4-5x>0$, произведение положительно. $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.- На интервале $(4/5, 1)$: $x>0$ и $4-5x<0$, произведение отрицательно. $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.

На основе анализа знаков производной делаем выводы о точках экстремума:- В точке $x=0$ знак производной меняется с «–» на «+», значит, это точка локального минимума.- В точке $x=4/5$ знак производной меняется с «+» на «–», значит, это точка локального максимума.- Точка $x=1$ является граничной точкой области определения. Так как функция убывает на интервале $[4/5, 1]$, то в точке $x=1$ достигается локальный минимум.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, 4/5]$; убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[4/5, 1]$; точка максимума $x_{max} = 4/5$; точки минимума $x_{min} = 0$ и $x_{min} = 1$.

2)

Дана функция $f(x) = (1-x)\sqrt{x}$.

Область определения функции определяется условием $x \ge 0$, то есть $D(f) = [0, \infty)$.

Найдём производную функции по правилу произведения:

$f'(x) = (1-x)'\sqrt{x} + (1-x)(\sqrt{x})' = -1 \cdot \sqrt{x} + (1-x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\sqrt{x} + \frac{1-x}{2\sqrt{x}}$.

Приведём к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{-\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x} + 1-x}{2\sqrt{x}} = \frac{-2x + 1-x}{2\sqrt{x}} = \frac{1-3x}{2\sqrt{x}}$.

Найдём критические точки.Производная $f'(x) = 0$ при $1-3x=0$, то есть $x = 1/3$.Производная не существует при $x=0$.Обе точки ($0$ и $1/3$) принадлежат области определения.

Исследуем знак производной на интервалах $(0, 1/3)$ и $(1/3, \infty)$. Знаменатель $2\sqrt{x}$ положителен при $x > 0$, поэтому знак производной определяется знаком числителя $1-3x$.- На интервале $(0, 1/3)$: $1-3x > 0$, следовательно $f'(x) > 0$, функция возрастает.- На интервале $(1/3, \infty)$: $1-3x < 0$, следовательно $f'(x) < 0$, функция убывает.

Выводы о точках экстремума:- Точка $x=0$ является граничной. Поскольку справа от неё функция возрастает, $x=0$ — точка локального минимума.- В точке $x=1/3$ знак производной меняется с «+» на «–», следовательно, это точка локального максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, 1/3]$; убывает на промежутке $[1/3, \infty)$; точка минимума $x_{min} = 0$; точка максимума $x_{max} = 1/3$.

3)

Дана функция $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x+1}$.

Область определения: $x \ge 0$ (из-за корня) и $x+1 \ne 0$ (знаменатель). Второе условие ($x \ne -1$) выполняется при $x \ge 0$. Таким образом, $D(f) = [0, \infty)$.

Найдём производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(\sqrt{x})'(x+1) - \sqrt{x}(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1) - \sqrt{x} \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{\frac{x+1-2x}{2\sqrt{x}}}{(x+1)^2} = \frac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$.

Найдём критические точки.Производная $f'(x) = 0$ при $1-x=0$, то есть $x=1$.Производная не существует при $x=0$.Обе точки ($0$ и $1$) принадлежат области определения.

Исследуем знак производной на интервалах $(0, 1)$ и $(1, \infty)$. Знаменатель $2\sqrt{x}(x+1)^2$ положителен при $x > 0$, поэтому знак $f'(x)$ зависит от знака числителя $1-x$.- На интервале $(0, 1)$: $1-x > 0$, следовательно $f'(x) > 0$, функция возрастает.- На интервале $(1, \infty)$: $1-x < 0$, следовательно $f'(x) < 0$, функция убывает.

Выводы о точках экстремума:- Точка $x=0$ — граничная. Справа от неё функция возрастает, значит, $x=0$ — точка локального минимума.- В точке $x=1$ знак производной меняется с «+» на «–», значит, это точка локального максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, 1]$; убывает на промежутке $[1, \infty)$; точка минимума $x_{min} = 0$; точка максимума $x_{max} = 1$.

4)

Дана функция $f(x) = \frac{2x-7}{\sqrt{3-x}}$.

Область определения функции. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $3-x > 0$, откуда $x < 3$. Таким образом, $D(f) = (-\infty, 3)$.

Найдём производную по правилу частного:

$f'(x) = \frac{(2x-7)'\sqrt{3-x} - (2x-7)(\sqrt{3-x})'}{(\sqrt{3-x})^2} = \frac{2\sqrt{3-x} - (2x-7)\frac{-1}{2\sqrt{3-x}}}{3-x}$.

Упростим числитель, приведя к общему знаменателю:

$2\sqrt{3-x} - (2x-7)\frac{-1}{2\sqrt{3-x}} = \frac{2\sqrt{3-x} \cdot 2\sqrt{3-x} + (2x-7)}{2\sqrt{3-x}} = \frac{4(3-x) + 2x-7}{2\sqrt{3-x}} = \frac{12-4x+2x-7}{2\sqrt{3-x}} = \frac{5-2x}{2\sqrt{3-x}}$.

Тогда производная равна:

$f'(x) = \frac{\frac{5-2x}{2\sqrt{3-x}}}{3-x} = \frac{5-2x}{2(3-x)\sqrt{3-x}} = \frac{5-2x}{2(3-x)^{3/2}}$.

Найдём критические точки.Производная $f'(x) = 0$ при $5-2x=0$, то есть $x = 5/2 = 2.5$. Эта точка входит в область определения.Производная не существует при $3-x=0$, то есть $x=3$, но эта точка не входит в область определения.

Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty, 2.5)$ и $(2.5, 3)$. Знаменатель $2(3-x)^{3/2}$ положителен на всей области определения, поэтому знак $f'(x)$ определяется знаком числителя $5-2x$.- На интервале $(-\infty, 2.5)$: $5-2x > 0$, следовательно $f'(x) > 0$, функция возрастает.- На интервале $(2.5, 3)$: $5-2x < 0$, следовательно $f'(x) < 0$, функция убывает.

В точке $x=2.5$ знак производной меняется с «+» на «–», следовательно, это точка локального максимума. Точек минимума у функции нет.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 2.5]$; убывает на промежутке $[2.5, 3)$; точка максимума $x_{max} = 2.5$; точек минимума нет.