Номер 40.2, страница 296 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном промежутке:

1) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x$, $[0; 3];$

2) $f(x) = x - 1 - x^3 - x^2$, $[-2; 0];$

3) $f(x) = 2x^4 - 8x$, $[-2; 1];$

4) $f(x) = \frac{x^4}{4} - 8x^2$, $[-1; 2].$

1) Для функции $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x$ на промежутке $[0; 3]$.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, нужно найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее.

1. Найдем производную функции: $f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - 4x)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 4 = x^2 - 4$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0 \implies x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4$. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

3. Проверим, какие из критических точек принадлежат промежутку $[0; 3]$. Точка $x=2$ принадлежит этому промежутку, а точка $x=-2$ — нет.

4. Вычислим значения функции в найденной критической точке $x=2$ и на концах промежутка $x=0$ и $x=3$:

$f(0) = \frac{1}{3}(0)^3 - 4(0) = 0$.

$f(2) = \frac{1}{3}(2)^3 - 4(2) = \frac{8}{3} - 8 = \frac{8 - 24}{3} = -\frac{16}{3}$.

$f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - 4(3) = \frac{27}{3} - 12 = 9 - 12 = -3$.

5. Сравниваем полученные значения: $0$, $-\frac{16}{3}$ (что равно $-5\frac{1}{3}$) и $-3$. Наибольшее из этих значений равно $0$, а наименьшее равно $-\frac{16}{3}$.

Ответ: наибольшее значение $0$, наименьшее значение $-\frac{16}{3}$.

2) Для функции $f(x) = x - 1 - x^3 - x^2$ на промежутке $[-2; 0]$.

1. Перепишем функцию для удобства: $f(x) = -x^3 - x^2 + x - 1$.

2. Найдем производную: $f'(x) = (-x^3 - x^2 + x - 1)' = -3x^2 - 2x + 1$.

3. Найдем критические точки из уравнения $f'(x)=0$: $-3x^2 - 2x + 1 = 0$, или $3x^2 + 2x - 1 = 0$. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$. Корни: $x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ и $x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$.

4. Промежутку $[-2; 0]$ принадлежит только критическая точка $x=-1$.

5. Вычислим значения функции в точке $x=-1$ и на концах промежутка $x=-2$ и $x=0$:

$f(-2) = -(-2)^3 - (-2)^2 + (-2) - 1 = 8 - 4 - 2 - 1 = 1$.

$f(-1) = -(-1)^3 - (-1)^2 + (-1) - 1 = 1 - 1 - 1 - 1 = -2$.

$f(0) = -(0)^3 - (0)^2 + 0 - 1 = -1$.

6. Сравниваем значения $\{1, -2, -1\}$. Наибольшее равно $1$, наименьшее равно $-2$.

Ответ: наибольшее значение $1$, наименьшее значение $-2$.

3) Для функции $f(x) = 2x^4 - 8x$ на промежутке $[-2; 1]$.

1. Найдем производную функции: $f'(x) = (2x^4 - 8x)' = 8x^3 - 8$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x)=0$: $8x^3 - 8 = 0 \implies 8x^3 = 8 \implies x^3 = 1 \implies x = 1$.

3. Критическая точка $x=1$ принадлежит промежутку $[-2; 1]$ и совпадает с его правым концом.

4. Вычислим значения функции на концах промежутка $x=-2$ и $x=1$:

$f(-2) = 2(-2)^4 - 8(-2) = 2 \cdot 16 + 16 = 32 + 16 = 48$.

$f(1) = 2(1)^4 - 8(1) = 2 - 8 = -6$.

5. Сравнивая значения $\{48, -6\}$, заключаем, что наибольшее значение функции равно $48$, а наименьшее равно $-6$.

Ответ: наибольшее значение $48$, наименьшее значение $-6$.

4) Для функции $f(x) = \frac{x^4}{4} - 8x^2$ на промежутке $[-1; 2]$.

1. Найдем производную функции: $f'(x) = (\frac{x^4}{4} - 8x^2)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - 8 \cdot 2x = x^3 - 16x$.

2. Найдем критические точки из уравнения $f'(x)=0$: $x^3 - 16x = 0 \implies x(x^2 - 16) = 0$. Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$, $x_3 = -4$.

3. Промежутку $[-1; 2]$ принадлежит только критическая точка $x=0$.

4. Вычислим значения функции в этой точке и на концах промежутка $x=-1$ и $x=2$:

$f(-1) = \frac{(-1)^4}{4} - 8(-1)^2 = \frac{1}{4} - 8 = -\frac{31}{4} = -7.75$.

$f(0) = \frac{0^4}{4} - 8(0)^2 = 0$.

$f(2) = \frac{2^4}{4} - 8(2)^2 = \frac{16}{4} - 32 = 4 - 32 = -28$.

5. Сравнивая значения $\{-\frac{31}{4}, 0, -28\}$, находим, что наибольшее значение равно $0$, а наименьшее равно $-28$.

Ответ: наибольшее значение $0$, наименьшее значение $-28$.