Номер 39.14, страница 291 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.14. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = x + \frac{4}{x^2}$;

2) $f(x) = \frac{x^2 - 3}{x - 2}$;

3) $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$;

4) $f(x) = \frac{x^2}{4} + \frac{9}{x^2}$;

5) $f(x) = \frac{x - 1}{x^2}$;

6) $f(x) = - \frac{1}{(x - 3)^2}$;

7) $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 16}$;

8) $f(x) = 2\sqrt{x} - x.$

1) $f(x) = x + \frac{4}{x^2}$

1. Находим область определения функции.

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, поэтому $x^2 \neq 0$, что означает $x \neq 0$.

Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Находим производную функции.

$f'(x) = (x + 4x^{-2})' = 1 - 8x^{-3} = 1 - \frac{8}{x^3} = \frac{x^3 - 8}{x^3}$.

3. Находим критические точки.

Приравниваем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки: $f'(x) = 0$.

$\frac{x^3 - 8}{x^3} = 0$. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$x^3 - 8 = 0 \implies x^3 = 8 \implies x = 2$.

Производная не существует в точке $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции.

Критическая точка: $x=2$.

4. Определяем знаки производной на интервалах.

Критическая точка $x=2$ и точка разрыва $x=0$ делят область определения на интервалы $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.

• На интервале $(-\infty; 0)$: возьмем $x=-1$. $f'(-1) = \frac{(-1)^3 - 8}{(-1)^3} = \frac{-9}{-1} = 9 > 0$. Функция возрастает.
• На интервале $(0; 2)$: возьмем $x=1$. $f'(1) = \frac{1^3 - 8}{1^3} = -7 < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(2; +\infty)$: возьмем $x=3$. $f'(3) = \frac{3^3 - 8}{3^3} = \frac{19}{27} > 0$. Функция возрастает.

5. Находим точки экстремума.

В точке $x=2$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка минимума.

$x_{min} = 2$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $[2; +\infty)$, убывает на промежутке $(0; 2]$, точка минимума $x_{min} = 2$.

2) $f(x) = \frac{x^2 - 3}{x - 2}$

1. Область определения: $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$. $D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Производная:

$f'(x) = \frac{(x^2 - 3)'(x-2) - (x^2-3)(x-2)'}{(x-2)^2} = \frac{2x(x-2) - (x^2-3) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{2x^2 - 4x - x^2 + 3}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x-2)^2}$.

3. Критические точки: $f'(x) = 0$.

$\frac{x^2 - 4x + 3}{(x-2)^2} = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Обе точки принадлежат области определения.

4. Знаки производной:

Знаменатель $(x-2)^2$ всегда положителен (кроме $x=2$). Знак $f'(x)$ зависит от знака числителя $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$. Это парабола с ветвями вверх, пересекающая ось абсцисс в точках 1 и 3.

• На $(-\infty; 1)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• На $(1; 2)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
• На $(2; 3)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
• На $(3; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. Точки экстремума:

В точке $x=1$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума: $x_{max} = 1$.

В точке $x=3$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума: $x_{min} = 3$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 1]$ и $[3; +\infty)$, убывает на промежутках $[1; 2)$ и $(2; 3]$, точка максимума $x_{max} = 1$, точка минимума $x_{min} = 3$.

3) $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$

1. Область определения: $x^2+1 > 0$ для любого $x$. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная: $f(x) = (x^2+1)^{-1}$.

$f'(x) = -1 \cdot (x^2+1)^{-2} \cdot (x^2+1)' = -\frac{2x}{(x^2+1)^2}$.

3. Критические точки: $f'(x) = 0$.

$-\frac{2x}{(x^2+1)^2} = 0 \implies -2x = 0 \implies x=0$.

4. Знаки производной:

Знаменатель $(x^2+1)^2$ всегда положителен. Знак $f'(x)$ зависит от знака числителя $-2x$.

• На $(-\infty; 0)$: $-2x > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• На $(0; +\infty)$: $-2x < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

5. Точки экстремума:

В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума: $x_{max} = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$, убывает на промежутке $[0; +\infty)$, точка максимума $x_{max} = 0$.

4) $f(x) = \frac{x^2}{4} + \frac{9}{x^2}$

1. Область определения: $x^2 \neq 0 \implies x \neq 0$. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Производная: $f(x) = \frac{1}{4}x^2 + 9x^{-2}$.

$f'(x) = \frac{1}{4} \cdot 2x + 9 \cdot (-2x^{-3}) = \frac{x}{2} - \frac{18}{x^3} = \frac{x^4 - 36}{2x^3}$.

3. Критические точки: $f'(x) = 0$.

$\frac{x^4 - 36}{2x^3} = 0 \implies x^4 - 36 = 0 \implies (x^2-6)(x^2+6) = 0$.

Так как $x^2+6 > 0$, то $x^2 - 6 = 0 \implies x^2 = 6 \implies x = \pm\sqrt{6}$.

4. Знаки производной:

Точки для анализа: $-\sqrt{6}$, $0$, $\sqrt{6}$.

• На $(-\infty; -\sqrt{6})$: $x=-3$, $f'(-3) = \frac{(-3)^4-36}{2(-3)^3} = \frac{81-36}{-54} < 0$. Убывает.
• На $(-\sqrt{6}; 0)$: $x=-1$, $f'(-1) = \frac{(-1)^4-36}{2(-1)^3} = \frac{1-36}{-2} > 0$. Возрастает.
• На $(0; \sqrt{6})$: $x=1$, $f'(1) = \frac{1^4-36}{2(1)^3} = \frac{1-36}{2} < 0$. Убывает.
• На $(\sqrt{6}; +\infty)$: $x=3$, $f'(3) = \frac{3^4-36}{2(3)^3} = \frac{81-36}{54} > 0$. Возрастает.

5. Точки экстремума:

В точке $x=-\sqrt{6}$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума: $x_{min} = -\sqrt{6}$.

В точке $x=\sqrt{6}$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума: $x_{min} = \sqrt{6}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-\sqrt{6}; 0)$ и $[\sqrt{6}; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; -\sqrt{6}]$ и $(0; \sqrt{6}]$, точки минимума $x_{min} = -\sqrt{6}$ и $x_{min} = \sqrt{6}$.

5) $f(x) = \frac{x-1}{x^2}$

1. Область определения: $x^2 \neq 0 \implies x \neq 0$. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Производная:

$f'(x) = \frac{(x-1)'x^2 - (x-1)(x^2)'}{(x^2)^2} = \frac{1 \cdot x^2 - (x-1) \cdot 2x}{x^4} = \frac{x^2 - 2x^2 + 2x}{x^4} = \frac{-x^2 + 2x}{x^4} = \frac{x(2-x)}{x^4} = \frac{2-x}{x^3}$.

3. Критические точки: $f'(x) = 0$.

$\frac{2-x}{x^3} = 0 \implies 2-x = 0 \implies x=2$.

4. Знаки производной:

Точки для анализа: $0, 2$.

• На $(-\infty; 0)$: $x=-1$, $f'(-1) = \frac{2-(-1)}{(-1)^3} = \frac{3}{-1} < 0$. Убывает.
• На $(0; 2)$: $x=1$, $f'(1) = \frac{2-1}{1^3} = 1 > 0$. Возрастает.
• На $(2; +\infty)$: $x=3$, $f'(3) = \frac{2-3}{3^3} = \frac{-1}{27} < 0$. Убывает.

5. Точки экстремума:

В точке $x=2$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума: $x_{max} = 2$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(0; 2]$, убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $[2; +\infty)$, точка максимума $x_{max} = 2$.

6) $f(x) = \frac{1}{(x-3)^2}$

1. Область определения: $(x-3)^2 \neq 0 \implies x \neq 3$. $D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Производная: $f(x) = (x-3)^{-2}$.

$f'(x) = -2(x-3)^{-3} \cdot (x-3)' = \frac{-2}{(x-3)^3}$.

3. Критические точки: $f'(x)=0$.

$\frac{-2}{(x-3)^3} = 0$. Уравнение не имеет решений, так как числитель не равен нулю. Стационарных точек нет.

4. Знаки производной:

Точка разрыва $x=3$ делит область определения на два интервала.

• На $(-\infty; 3)$: $x=2$, $f'(2) = \frac{-2}{(2-3)^3} = \frac{-2}{-1} = 2 > 0$. Возрастает.
• На $(3; +\infty)$: $x=4$, $f'(4) = \frac{-2}{(4-3)^3} = \frac{-2}{1} = -2 < 0$. Убывает.

5. Точки экстремума:

Функция не имеет критических точек, следовательно, не имеет точек экстремума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 3)$, убывает на промежутке $(3; +\infty)$, точек экстремума нет.

7) $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 16}$

1. Область определения: $x^2 - 16 \neq 0 \implies x \neq \pm 4$. $D(f) = (-\infty; -4) \cup (-4; 4) \cup (4; +\infty)$.

2. Производная:

$f'(x) = \frac{(x^2)'(x^2-16) - x^2(x^2-16)'}{(x^2-16)^2} = \frac{2x(x^2-16) - x^2(2x)}{(x^2-16)^2} = \frac{2x^3 - 32x - 2x^3}{(x^2-16)^2} = \frac{-32x}{(x^2-16)^2}$.

3. Критические точки: $f'(x) = 0$.

$\frac{-32x}{(x^2-16)^2} = 0 \implies -32x = 0 \implies x=0$.

4. Знаки производной:

Знаменатель $(x^2-16)^2$ положителен на всей области определения. Знак $f'(x)$ зависит от знака $-32x$. Точки для анализа: $-4, 0, 4$.

• На $(-\infty; -4)$: $-32x > 0$, $f'(x) > 0$. Возрастает.
• На $(-4; 0)$: $-32x > 0$, $f'(x) > 0$. Возрастает.
• На $(0; 4)$: $-32x < 0$, $f'(x) < 0$. Убывает.
• На $(4; +\infty)$: $-32x < 0$, $f'(x) < 0$. Убывает.

5. Точки экстремума:

В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума: $x_{max} = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -4)$ и $(-4; 0]$, убывает на промежутках $[0; 4)$ и $(4; +\infty)$, точка максимума $x_{max} = 0$.

8) $f(x) = 2\sqrt{x} - x$

1. Область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. $D(f) = [0; +\infty)$.

2. Производная: $f(x) = 2x^{1/2} - x$.

$f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} - 1 = \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 = \frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$. Производная определена для $x>0$.

3. Критические точки: $f'(x) = 0$.

$\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = 0 \implies 1-\sqrt{x} = 0 \implies \sqrt{x}=1 \implies x=1$.

Производная не определена в точке $x=0$, которая является граничной точкой области определения. Эту точку также нужно исследовать.

4. Знаки производной:

Знаменатель $\sqrt{x}$ положителен для $x>0$. Знак $f'(x)$ зависит от знака $1-\sqrt{x}$.

• На $(0; 1)$: $\sqrt{x} < 1 \implies 1-\sqrt{x} > 0$, $f'(x) > 0$. Возрастает.
• На $(1; +\infty)$: $\sqrt{x} > 1 \implies 1-\sqrt{x} < 0$, $f'(x) < 0$. Убывает.

5. Точки экстремума:

В точке $x=1$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума: $x_{max} = 1$.

На промежутке $[0, 1]$ функция возрастает, значит в точке $x=0$ она принимает наименьшее значение на этом отрезке. Таким образом, $x=0$ является точкой локального минимума. $x_{min} = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; 1]$, убывает на промежутке $[1; +\infty)$, точка минимума $x_{min} = 0$, точка максимума $x_{max} = 1$.