Страница 274 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

37.11. Найдите такую точку графика функции $f$, что проведённая в этой точке касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол $\alpha$, если:

1) $f(x) = \sqrt{3}x - \frac{x^3}{3}$, $\alpha = 60^{\circ}$;

2) $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 1$, $\alpha = 45^{\circ}$.

1) $f(x) = \sqrt{3}x - \frac{x^3}{3}, \alpha = 60^\circ$

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, $k = f'(x_0)$. Также угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс, $k = \tan(\alpha)$. Следовательно, чтобы найти искомую точку, нужно решить уравнение $f'(x_0) = \tan(\alpha)$.

Сначала найдём производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\sqrt{3}x - \frac{x^3}{3})' = \sqrt{3} - \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = \sqrt{3} - x^2$.

Теперь вычислим тангенс заданного угла $\alpha$:
$\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

Теперь приравняем значение производной к тангенсу угла, чтобы найти абсциссу искомой точки $x_0$:
$f'(x_0) = \tan(60^\circ)$
$\sqrt{3} - x_0^2 = \sqrt{3}$
$-x_0^2 = 0$
$x_0 = 0$.

Далее найдём ординату точки, подставив значение $x_0 = 0$ в исходную функцию:
$y_0 = f(0) = \sqrt{3} \cdot 0 - \frac{0^3}{3} = 0$.

Искомая точка на графике функции — $(0, 0)$.
Ответ: $(0, 0)$.

2) $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 1, \alpha = 45^\circ$

Действуем по тому же алгоритму.

Найдём производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^3 - 2x^2 + x - 1)' = 3x^2 - 4x + 1$.

Вычислим тангенс заданного угла $\alpha$:
$\tan(45^\circ) = 1$.

Приравняем производную к тангенсу угла, чтобы найти абсциссы искомых точек $x_0$:
$f'(x_0) = \tan(45^\circ)$
$3x_0^2 - 4x_0 + 1 = 1$
$3x_0^2 - 4x_0 = 0$
$x_0(3x_0 - 4) = 0$.

Получаем два возможных значения для абсциссы:
$x_{0,1} = 0$
$3x_{0,2} - 4 = 0 \implies x_{0,2} = \frac{4}{3}$.

Теперь найдём соответствующие ординаты для каждой абсциссы.
При $x_1 = 0$:
$y_1 = f(0) = 0^3 - 2(0)^2 + 0 - 1 = -1$.
Первая искомая точка: $(0, -1)$.

При $x_2 = \frac{4}{3}$:
$y_2 = f(\frac{4}{3}) = (\frac{4}{3})^3 - 2(\frac{4}{3})^2 + \frac{4}{3} - 1 = \frac{64}{27} - 2 \cdot \frac{16}{9} + \frac{4}{3} - 1$.
Приводя к общему знаменателю 27, получаем:
$y_2 = \frac{64}{27} - \frac{32 \cdot 3}{27} + \frac{4 \cdot 9}{27} - \frac{27}{27} = \frac{64 - 96 + 36 - 27}{27} = \frac{100 - 123}{27} = -\frac{23}{27}$.
Вторая искомая точка: $(\frac{4}{3}, -\frac{23}{27})$.

Ответ: $(0, -1)$ и $(\frac{4}{3}, -\frac{23}{27})$.

37.12. Докажите, что любая касательная к графику функции $f$ образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс:

1) $f(x) = 6 - x - x^3$;

2) $f(x) = \frac{5 - x}{x - 3}$.

1) $f(x) = 6 - x - x^3$

Для того чтобы доказать, что любая касательная к графику функции $f(x)$ образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс, необходимо показать, что угловой коэффициент касательной отрицателен в любой точке области определения. Угловой коэффициент касательной $k$ в точке $x_0$ равен значению производной в этой точке: $k = f'(x_0)$. Угол $α$ является тупым, если его тангенс отрицателен, то есть $\tan(α) = k < 0$. Следовательно, нам нужно доказать, что $f'(x) < 0$ для всех $x$ из области определения функции.

Область определения функции $f(x) = 6 - x - x^3$ — все действительные числа, $D(f) = R$, так как это полиномиальная функция.

Найдём производную функции:
$f'(x) = (6 - x - x^3)' = -1 - 3x^2$.

Проанализируем знак производной. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $3x^2 \ge 0$. Следовательно, $1 + 3x^2 \ge 1$, то есть выражение $1 + 3x^2$ всегда положительно. Тогда $f'(x) = -(1 + 3x^2)$ всегда отрицательно. Таким образом, $f'(x) < 0$ для всех $x \in R$.

Так как производная отрицательна на всей области определения, то и тангенс угла наклона касательной в любой точке отрицателен. Это означает, что любая касательная к графику данной функции образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) $f(x) = \frac{5 - x}{x - 3}$

Как и в предыдущем случае, докажем, что производная $f'(x)$ отрицательна на всей области определения функции.

Область определения данной дробно-рациональной функции находится из условия, что знаменатель не равен нулю: $x - 3 \ne 0$, то есть $x \ne 3$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

Найдём производную, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \left(\frac{5 - x}{x - 3}\right)' = \frac{(5-x)'(x-3) - (5-x)(x-3)'}{(x-3)^2} = \frac{-1 \cdot (x-3) - (5-x) \cdot 1}{(x-3)^2} = \frac{-x + 3 - 5 + x}{(x-3)^2} = \frac{-2}{(x-3)^2}$.

Проанализируем знак производной $f'(x) = \frac{-2}{(x-3)^2}$. Числитель дроби равен $-2$, он отрицателен. Знаменатель $(x-3)^2$ является квадратом числа, и для любого $x$ из области определения ($x \ne 3$) он строго положителен: $(x-3)^2 > 0$.

Следовательно, производная $f'(x)$ является частным от деления отрицательного числа на положительное, а значит, она всегда отрицательна на всей области определения. Так как $f'(x) < 0$ для всех $x \in D(f)$, то тангенс угла наклона касательной в любой точке графика отрицателен, и, соответственно, угол является тупым.

Ответ: Доказано.

37.13. Докажите, что любая касательная к графику функции f образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс:

1) $f(x) = x^5 + 2x - 8;$

2) $f(x) = \frac{4}{1 - x}.$

Угол $\alpha$, который касательная к графику функции образует с положительным направлением оси абсцисс, является острым, если он находится в интервале $(0^\circ; 90^\circ)$. Для таких углов их тангенс положителен: $\tan \alpha > 0$.

С геометрической точки зрения, тангенс угла наклона касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке: $\tan \alpha = f'(x_0)$.

Следовательно, чтобы доказать, что любая касательная к графику функции образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс, нам нужно показать, что производная этой функции $f'(x)$ всегда положительна для любого $x$ из ее области определения.

1) $f(x) = x^5 + 2x - 8$

Найдем производную данной функции. Область определения этой функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), так как это многочлен.

$f'(x) = (x^5 + 2x - 8)' = (x^5)' + (2x)' - (8)' = 5x^4 + 2 - 0 = 5x^4 + 2$.

Теперь проанализируем знак производной $f'(x) = 5x^4 + 2$.

Выражение $x^4$ представляет собой переменную в четной степени, поэтому оно всегда неотрицательно для любого действительного числа $x$, то есть $x^4 \ge 0$.

Умножение на положительное число 5 не меняет этого свойства: $5x^4 \ge 0$.

Прибавляя 2, получаем: $f'(x) = 5x^4 + 2 \ge 0 + 2 = 2$.

Таким образом, $f'(x) \ge 2$, что означает, что производная всегда строго положительна для любого $x$.

Поскольку $f'(x) > 0$ для всех $x$, любая касательная к графику этой функции образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс.

Ответ: Поскольку производная функции $f'(x) = 5x^4 + 2$ положительна для всех $x \in \mathbb{R}$, любая касательная к графику данной функции образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс, что и требовалось доказать.

2) $f(x) = \frac{4}{1-x}$

Найдем производную данной функции. Область определения функции — все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю: $1 - x \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

Используем правило дифференцирования частного или представим функцию в виде $f(x) = 4(1-x)^{-1}$ и воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (4(1-x)^{-1})' = 4 \cdot (-1)(1-x)^{-1-1} \cdot (1-x)' = -4(1-x)^{-2} \cdot (-1) = 4(1-x)^{-2} = \frac{4}{(1-x)^2}$.

Теперь проанализируем знак производной $f'(x) = \frac{4}{(1-x)^2}$.

Числитель дроби равен 4, это положительное число.

Знаменатель дроби $(1-x)^2$ является квадратом выражения. Так как $x \neq 1$, выражение $1-x$ не равно нулю. Квадрат любого ненулевого действительного числа всегда строго положителен, то есть $(1-x)^2 > 0$.

Отношение положительного числа (4) к строго положительному числу ($(1-x)^2$) всегда является положительным числом.

Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x$ из области определения функции.

Поскольку $f'(x) > 0$ для всех $x \neq 1$, любая касательная к графику этой функции образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс.

Ответ: Поскольку производная функции $f'(x) = \frac{4}{(1-x)^2}$ положительна для всех $x$ из области определения функции ($x \neq 1$), любая касательная к графику данной функции образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс, что и требовалось доказать.

37.14. Найдите уравнения горизонтальных касательных к графику функции:

1) $f(x) = x^3 - 3x + 1;$

2) $f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 4x^2 + 1.$

1) $f(x) = x^3 - 3x + 1$

Горизонтальная касательная к графику функции имеет угловой коэффициент, равный нулю. Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$. Следовательно, чтобы найти точки, в которых касательная горизонтальна, необходимо найти значения $x$, для которых производная функции равна нулю.

Сначала найдем производную функции:

$f'(x) = (x^3 - 3x + 1)' = 3x^2 - 3$

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти абсциссы точек касания:

$f'(x) = 0$

$3x^2 - 3 = 0$

$3(x^2 - 1) = 0$

$x^2 = 1$

Корни этого уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Теперь найдем ординаты этих точек, подставив значения $x_1$ и $x_2$ в исходную функцию $f(x)$:

Для $x_1 = 1$:

$y_1 = f(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$

Для $x_2 = -1$:

$y_2 = f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3$

Уравнение горизонтальной прямой имеет вид $y = c$, где $c$ — это ордината точки касания. Таким образом, мы получаем два уравнения горизонтальных касательных.

Ответ: $y = 3$ и $y = -1$.

2) $f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 4x^2 + 1$

Аналогично первому пункту, найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

Найдем производную:

$f'(x) = (\frac{1}{2}x^4 - 4x^2 + 1)' = \frac{1}{2} \cdot 4x^3 - 4 \cdot 2x = 2x^3 - 8x$

Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$2x^3 - 8x = 0$

$2x(x^2 - 4) = 0$

$2x(x-2)(x+2) = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$ и $x_3 = -2$.

Теперь найдем соответствующие ординаты точек касания:

Для $x_1 = 0$:

$y_1 = f(0) = \frac{1}{2}(0)^4 - 4(0)^2 + 1 = 1$

Для $x_2 = 2$:

$y_2 = f(2) = \frac{1}{2}(2)^4 - 4(2)^2 + 1 = \frac{1}{2} \cdot 16 - 4 \cdot 4 + 1 = 8 - 16 + 1 = -7$

Для $x_3 = -2$:

$y_3 = f(-2) = \frac{1}{2}(-2)^4 - 4(-2)^2 + 1 = \frac{1}{2} \cdot 16 - 4 \cdot 4 + 1 = 8 - 16 + 1 = -7$

Мы получили три точки, в которых касательная горизонтальна: $(0, 1)$, $(2, -7)$ и $(-2, -7)$. Этим точкам соответствуют две уникальные ординаты: $1$ и $-7$. Следовательно, у графика функции две горизонтальные касательные.

Ответ: $y = 1$ и $y = -7$.

37.15. Найдите уравнения горизонтальных касательных к графику функции $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 4.$

Условие горизонтальности касательной к графику функции $f(x)$ в некоторой точке $x_0$ заключается в том, что её угловой коэффициент равен нулю. Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания, то есть $k = f'(x_0)$. Таким образом, для нахождения горизонтальных касательных нужно найти точки, в которых производная функции равна нулю.

Дана функция: $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 4$.

1. Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 4)' = \frac{1}{3} \cdot (x^3)' - (x^2)' - (3x)' + (4)'$

$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2x - 3 + 0 = x^2 - 2x - 3$.

2. Находим абсциссы точек, в которых касательная горизонтальна:

Приравниваем производную к нулю и решаем полученное уравнение:

$f'(x) = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 4}{2}$.

$x_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

$x_2 = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Мы нашли абсциссы точек, в которых касательные к графику функции горизонтальны: $x_1=3$ и $x_2=-1$.

3. Находим уравнения горизонтальных касательных:

Уравнение горизонтальной прямой имеет вид $y=c$, где $c$ — это ордината точки касания. Найдем значения функции в точках $x_1=3$ и $x_2=-1$.

Для $x_1 = 3$:

$y_1 = f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - (3)^2 - 3(3) + 4 = \frac{1}{3} \cdot 27 - 9 - 9 + 4 = 9 - 9 - 9 + 4 = -5$.

Следовательно, уравнение первой горизонтальной касательной: $y = -5$.

Для $x_2 = -1$:

$y_2 = f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 - 3(-1) + 4 = -\frac{1}{3} - 1 + 3 + 4 = -\frac{1}{3} + 6 = \frac{18}{3} - \frac{1}{3} = \frac{17}{3}$.

Следовательно, уравнение второй горизонтальной касательной: $y = \frac{17}{3}$.

Ответ: $y=-5$, $y=\frac{17}{3}$.

37.16. Составьте уравнение касательной к графику функции:

1) $f(x) = x^2 - 5x$, если эта касательная параллельна прямой $y = -x$;

2) $f(x) = x - \frac{1}{x^2}$, если эта касательная параллельна прямой $y = 3x$;

3) $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 10x - 1$, если эта касательная параллельна прямой $y = 2x + 1$.

1) f(x) = x² - 5x, если эта касательная параллельна прямой y = -x;

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания, $k_{кас} = f'(x_0)$.

Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент данной прямой $y = -x$ равен $k = -1$. Следовательно, нам нужно найти точку $x_0$, в которой $f'(x_0) = -1$.

1. Находим производную функции $f(x) = x^2 - 5x$:
$f'(x) = (x^2)' - (5x)' = 2x - 5$.

2. Решаем уравнение $f'(x_0) = -1$ для нахождения абсциссы точки касания $x_0$:
$2x_0 - 5 = -1$
$2x_0 = 4$
$x_0 = 2$.

3. Вычисляем ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0 = 2$ в исходную функцию:
$y_0 = f(2) = 2^2 - 5 \cdot 2 = 4 - 10 = -6$. Точка касания: $(2, -6)$.

4. Подставляем найденные значения ($x_0 = 2$, $y_0 = -6$, $f'(x_0) = -1$) в уравнение касательной:
$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$
$y - (-6) = -1(x - 2)$
$y + 6 = -x + 2$
$y = -x - 4$.

Ответ: $y = -x - 4$.

2) f(x) = x - 1/x², если эта касательная параллельна прямой y = 3x;

Угловой коэффициент прямой $y = 3x$ равен $k = 3$. Касательная будет параллельна этой прямой, если ее угловой коэффициент также равен 3. Таким образом, ищем точку $x_0$, для которой $f'(x_0) = 3$.

1. Находим производную функции $f(x) = x - \frac{1}{x^2}$. Для удобства запишем функцию как $f(x) = x - x^{-2}$.
$f'(x) = (x - x^{-2})' = 1 - (-2)x^{-3} = 1 + 2x^{-3} = 1 + \frac{2}{x^3}$.

2. Находим абсциссу точки касания $x_0$, решив уравнение $f'(x_0) = 3$:
$1 + \frac{2}{x_0^3} = 3$
$\frac{2}{x_0^3} = 2$
$x_0^3 = 1$
$x_0 = 1$.

3. Вычисляем ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$:
$y_0 = f(1) = 1 - \frac{1}{1^2} = 1 - 1 = 0$. Точка касания: $(1, 0)$.

4. Составляем уравнение касательной с угловым коэффициентом $k=3$ в точке $(1, 0)$:
$y - y_0 = k(x - x_0)$
$y - 0 = 3(x - 1)$
$y = 3x - 3$.

Ответ: $y = 3x - 3$.

3) f(x) = 2x³ + 3x² - 10x - 1, если эта касательная параллельна прямой y = 2x + 1.

Угловой коэффициент прямой $y = 2x + 1$ равен $k = 2$. Ищем точку (или точки) $x_0$, в которой угловой коэффициент касательной равен 2, то есть $f'(x_0) = 2$.

1. Находим производную функции $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 10x - 1$:
$f'(x) = (2x^3 + 3x^2 - 10x - 1)' = 6x^2 + 6x - 10$.

2. Решаем уравнение $f'(x_0) = 2$ для нахождения абсцисс точек касания:
$6x_0^2 + 6x_0 - 10 = 2$
$6x_0^2 + 6x_0 - 12 = 0$
Делим обе части на 6: $x_0^2 + x_0 - 2 = 0$.
Решаем квадратное уравнение, например, по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = -2$, $x_1 + x_2 = -1$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Получили две точки касания.

3. Найдем уравнения для каждой касательной.

Случай 1: $x_0 = 1$.
Находим ординату точки касания:
$y_0 = f(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 10(1) - 1 = 2 + 3 - 10 - 1 = -6$.
Точка касания $(1, -6)$.
Уравнение касательной: $y - (-6) = 2(x - 1)$
$y + 6 = 2x - 2$
$y = 2x - 8$.

Случай 2: $x_0 = -2$.
Находим ординату точки касания:
$y_0 = f(-2) = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 10(-2) - 1 = 2(-8) + 3(4) + 20 - 1 = -16 + 12 + 20 - 1 = 15$.
Точка касания $(-2, 15)$.
Уравнение касательной:
$y - 15 = 2(x - (-2))$
$y - 15 = 2(x + 2)$
$y - 15 = 2x + 4$
$y = 2x + 19$.

Ответ: $y = 2x - 8$ и $y = 2x + 19$.

37.17. Составьте уравнение касательной к графику функции:

1) $f(x) = 3x^2 + 5x + 3$, если эта касательная параллельна прямой $y = -7x + 3;$

2) $f(x) = \sqrt{x}$, если эта касательная параллельна прямой $y = x.$

1) Дана функция $f(x) = 3x^2 + 5x + 3$. Требуется составить уравнение касательной к ее графику, если эта касательная параллельна прямой $y = -7x + 3$.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Угловой коэффициент касательной $k$ равен значению производной функции в точке касания $x_0$, то есть $k = f'(x_0)$.

По условию, касательная параллельна прямой $y = -7x + 3$. У параллельных прямых угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент прямой $y = -7x + 3$ равен -7. Следовательно, угловой коэффициент искомой касательной также равен -7, то есть $k = f'(x_0) = -7$.

Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (3x^2 + 5x + 3)' = 6x + 5$.

Теперь найдем абсциссу точки касания $x_0$, решив уравнение $f'(x_0) = -7$:
$6x_0 + 5 = -7$
$6x_0 = -12$
$x_0 = -2$.

Найдем ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0 = -2$ в исходную функцию:
$y_0 = f(x_0) = f(-2) = 3(-2)^2 + 5(-2) + 3 = 3 \cdot 4 - 10 + 3 = 12 - 10 + 3 = 5$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $(-2; 5)$, а угловой коэффициент касательной $k = -7$.

Составим уравнение касательной, используя эти данные:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
$y = 5 + (-7)(x - (-2))$
$y = 5 - 7(x + 2)$
$y = 5 - 7x - 14$
$y = -7x - 9$.

Ответ: $y = -7x - 9$.

2) Дана функция $f(x) = \sqrt{x}$. Требуется составить уравнение касательной к ее графику, если эта касательная параллельна прямой $y = x$.

Угловой коэффициент касательной $k$ должен быть равен угловому коэффициенту прямой $y=x$. Уравнение $y=x$ можно записать как $y=1 \cdot x + 0$, откуда видно, что ее угловой коэффициент равен 1. Значит, $k = f'(x_0) = 1$.

Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Найдем абсциссу точки касания $x_0$ из уравнения $f'(x_0) = 1$:
$\frac{1}{2\sqrt{x_0}} = 1$
$2\sqrt{x_0} = 1$
$\sqrt{x_0} = \frac{1}{2}$
$x_0 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Найдем ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0 = \frac{1}{4}$ в исходную функцию:
$y_0 = f(x_0) = f(\frac{1}{4}) = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $(\frac{1}{4}; \frac{1}{2})$, а угловой коэффициент касательной $k=1$.

Составим уравнение касательной:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
$y = \frac{1}{2} + 1(x - \frac{1}{4})$
$y = \frac{1}{2} + x - \frac{1}{4}$
$y = x + \frac{2}{4} - \frac{1}{4}$
$y = x + \frac{1}{4}$.

Ответ: $y = x + \frac{1}{4}$.

37.18. Определите, является ли прямая $y = 12x - 10$ касательной к графику функции $f(x) = 4x^3$. В случае утвердительного ответа укажите абсциссу точки касания.

Для того чтобы прямая $y = kx + b$ была касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, должны одновременно выполняться два условия:
1. Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания: $f'(x_0) = k$.
2. Значения функции и прямой в точке касания совпадают, то есть точка касания $(x_0, f(x_0))$ лежит на прямой: $f(x_0) = kx_0 + b$.

В данной задаче имеем функцию $f(x) = 4x^3$ и прямую $y = 12x - 10$. Угловой коэффициент прямой $k = 12$.

Шаг 1: Найдем производную функции $f(x)$.

Производная функции $f(x) = 4x^3$ находится по правилу дифференцирования степенной функции:
$f'(x) = (4x^3)' = 4 \cdot 3x^{3-1} = 12x^2$.

Шаг 2: Найдем возможные абсциссы точки касания.

Используем первое условие касания. Приравняем значение производной в точке $x_0$ к угловому коэффициенту прямой $k=12$:
$f'(x_0) = 12$
$12x_0^2 = 12$
$x_0^2 = 1$
Отсюда получаем два возможных значения для абсциссы точки касания: $x_0 = 1$ и $x_0 = -1$.

Шаг 3: Проверим второе условие для каждого из найденных значений $x_0$.

Теперь необходимо проверить, выполняется ли второе условие, то есть равенство $f(x_0) = 12x_0 - 10$.

Случай 1: $x_0 = 1$
Найдем значение функции в этой точке: $f(1) = 4 \cdot 1^3 = 4$.
Найдем значение ординаты на прямой в этой точке: $y(1) = 12 \cdot 1 - 10 = 2$.
Сравниваем значения: $f(1) = 4$ и $y(1) = 2$. Так как $4 \neq 2$, второе условие не выполняется. Следовательно, в точке с абсциссой $x_0 = 1$ касания нет.

Случай 2: $x_0 = -1$
Найдем значение функции в этой точке: $f(-1) = 4 \cdot (-1)^3 = -4$.
Найдем значение ординаты на прямой в этой точке: $y(-1) = 12 \cdot (-1) - 10 = -12 - 10 = -22$.
Сравниваем значения: $f(-1) = -4$ и $y(-1) = -22$. Так как $-4 \neq -22$, второе условие также не выполняется. Следовательно, в точке с абсциссой $x_0 = -1$ касания тоже нет.

Поскольку не существует точки, в которой одновременно выполнялись бы оба условия касания, данная прямая не является касательной к графику функции.

Ответ: Прямая $y = 12x - 10$ не является касательной к графику функции $f(x) = 4x^3$.

37.19. Определите, является ли прямая $y = x$ касательной к графику функции $y = \sin x$. В случае утвердительного ответа укажите абсциссу точки касания.

Чтобы определить, является ли прямая $y = x$ касательной к графику функции $f(x) = \sin x$, необходимо проверить выполнение условий касания в некоторой точке с абсциссой $x_0$.

Прямая является касательной к графику функции в точке, если в этой точке выполняются два условия:

1. Значения функции и прямой совпадают (точка лежит на обоих графиках): $f(x_0) = x_0$.
2. Наклон касательной к графику функции (значение ее производной) равен наклону прямой: $f'(x_0) = 1$.

Найдем производную функции $f(x) = \sin x$:

$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

Теперь составим систему уравнений для нахождения абсциссы точки касания $x_0$:

$ \begin{cases} \sin x_0 = x_0 \\ \cos x_0 = 1 \end{cases} $

Начнем с решения второго уравнения системы: $\cos x_0 = 1$.

Это уравнение имеет решения вида $x_0 = 2\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Теперь подставим это общее решение в первое уравнение системы, чтобы найти конкретное значение $n$, при котором оно выполняется:

$\sin(2\pi n) = 2\pi n$.

Известно, что для любого целого $n$ значение синуса $\sin(2\pi n) = 0$. Поэтому уравнение упрощается до вида:

$0 = 2\pi n$.

Данное равенство верно только при $n=0$.

Следовательно, существует единственная точка, в которой могут выполняться оба условия. Найдем ее абсциссу, подставив $n=0$ в формулу для $x_0$:

$x_0 = 2\pi \cdot 0 = 0$.

Таким образом, мы доказали, что прямая $y=x$ является касательной к графику функции $y = \sin x$, и это происходит в точке с абсциссой 0.

Ответ: Да, является. Абсцисса точки касания: 0.

37.20. Определите, является ли прямая $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ касательной к графику функции $y = \sqrt{x}$. В случае утвердительного ответа укажите абсциссу точки касания.

Для того чтобы определить, является ли прямая $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ касательной к графику функции $f(x) = \sqrt{x}$, необходимо проверить выполнение двух условий для некоторой точки с абсциссой $x_0$:
1. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x_0$ должен быть равен угловому коэффициенту данной прямой.
2. Точка $(x_0, f(x_0))$ должна также лежать на данной прямой.

Угловой коэффициент данной прямой $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ равен $k = \frac{1}{2}$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ равен значению ее производной $f'(x_0)$. Найдем производную функции $f(x) = \sqrt{x}$:
$f'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Теперь приравняем производную к угловому коэффициенту прямой, чтобы найти абсциссу $x_0$ предполагаемой точки касания:
$f'(x_0) = k \implies \frac{1}{2\sqrt{x_0}} = \frac{1}{2}$.
Из этого равенства следует, что $2\sqrt{x_0} = 2$, или $\sqrt{x_0} = 1$.
Возведя обе части в квадрат, получаем: $x_0 = 1$.

Мы нашли абсциссу возможной точки касания. Теперь проверим второе условие: совпадают ли значения функции и прямой в этой точке. Для этого найдем ординаты обеих линий при $x_0 = 1$.
Значение функции: $f(1) = \sqrt{1} = 1$.
Значение на прямой: $y(1) = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Так как $f(1) = y(1) = 1$, оба условия выполнены. Это означает, что прямая $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ касается графика функции $y = \sqrt{x}$ в точке $(1, 1)$. Следовательно, ответ на вопрос, является ли прямая касательной, — утвердительный.

Ответ: Да, является. Абсцисса точки касания: 1.