Номер 37.15, страница 274 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

37.15. Найдите уравнения горизонтальных касательных к графику функции $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 4.$

Условие горизонтальности касательной к графику функции $f(x)$ в некоторой точке $x_0$ заключается в том, что её угловой коэффициент равен нулю. Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания, то есть $k = f'(x_0)$. Таким образом, для нахождения горизонтальных касательных нужно найти точки, в которых производная функции равна нулю.

Дана функция: $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 4$.

1. Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 4)' = \frac{1}{3} \cdot (x^3)' - (x^2)' - (3x)' + (4)'$

$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2x - 3 + 0 = x^2 - 2x - 3$.

2. Находим абсциссы точек, в которых касательная горизонтальна:

Приравниваем производную к нулю и решаем полученное уравнение:

$f'(x) = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 4}{2}$.

$x_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

$x_2 = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Мы нашли абсциссы точек, в которых касательные к графику функции горизонтальны: $x_1=3$ и $x_2=-1$.

3. Находим уравнения горизонтальных касательных:

Уравнение горизонтальной прямой имеет вид $y=c$, где $c$ — это ордината точки касания. Найдем значения функции в точках $x_1=3$ и $x_2=-1$.

Для $x_1 = 3$:

$y_1 = f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - (3)^2 - 3(3) + 4 = \frac{1}{3} \cdot 27 - 9 - 9 + 4 = 9 - 9 - 9 + 4 = -5$.

Следовательно, уравнение первой горизонтальной касательной: $y = -5$.

Для $x_2 = -1$:

$y_2 = f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 - 3(-1) + 4 = -\frac{1}{3} - 1 + 3 + 4 = -\frac{1}{3} + 6 = \frac{18}{3} - \frac{1}{3} = \frac{17}{3}$.

Следовательно, уравнение второй горизонтальной касательной: $y = \frac{17}{3}$.

Ответ: $y=-5$, $y=\frac{17}{3}$.