Номер 37.13, страница 274 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

37.13. Докажите, что любая касательная к графику функции f образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс:

1) $f(x) = x^5 + 2x - 8;$

2) $f(x) = \frac{4}{1 - x}.$

Угол $\alpha$, который касательная к графику функции образует с положительным направлением оси абсцисс, является острым, если он находится в интервале $(0^\circ; 90^\circ)$. Для таких углов их тангенс положителен: $\tan \alpha > 0$.

С геометрической точки зрения, тангенс угла наклона касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке: $\tan \alpha = f'(x_0)$.

Следовательно, чтобы доказать, что любая касательная к графику функции образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс, нам нужно показать, что производная этой функции $f'(x)$ всегда положительна для любого $x$ из ее области определения.

1) $f(x) = x^5 + 2x - 8$

Найдем производную данной функции. Область определения этой функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), так как это многочлен.

$f'(x) = (x^5 + 2x - 8)' = (x^5)' + (2x)' - (8)' = 5x^4 + 2 - 0 = 5x^4 + 2$.

Теперь проанализируем знак производной $f'(x) = 5x^4 + 2$.

Выражение $x^4$ представляет собой переменную в четной степени, поэтому оно всегда неотрицательно для любого действительного числа $x$, то есть $x^4 \ge 0$.

Умножение на положительное число 5 не меняет этого свойства: $5x^4 \ge 0$.

Прибавляя 2, получаем: $f'(x) = 5x^4 + 2 \ge 0 + 2 = 2$.

Таким образом, $f'(x) \ge 2$, что означает, что производная всегда строго положительна для любого $x$.

Поскольку $f'(x) > 0$ для всех $x$, любая касательная к графику этой функции образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс.

Ответ: Поскольку производная функции $f'(x) = 5x^4 + 2$ положительна для всех $x \in \mathbb{R}$, любая касательная к графику данной функции образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс, что и требовалось доказать.

2) $f(x) = \frac{4}{1-x}$

Найдем производную данной функции. Область определения функции — все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю: $1 - x \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

Используем правило дифференцирования частного или представим функцию в виде $f(x) = 4(1-x)^{-1}$ и воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (4(1-x)^{-1})' = 4 \cdot (-1)(1-x)^{-1-1} \cdot (1-x)' = -4(1-x)^{-2} \cdot (-1) = 4(1-x)^{-2} = \frac{4}{(1-x)^2}$.

Теперь проанализируем знак производной $f'(x) = \frac{4}{(1-x)^2}$.

Числитель дроби равен 4, это положительное число.

Знаменатель дроби $(1-x)^2$ является квадратом выражения. Так как $x \neq 1$, выражение $1-x$ не равно нулю. Квадрат любого ненулевого действительного числа всегда строго положителен, то есть $(1-x)^2 > 0$.

Отношение положительного числа (4) к строго положительному числу ($(1-x)^2$) всегда является положительным числом.

Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x$ из области определения функции.

Поскольку $f'(x) > 0$ для всех $x \neq 1$, любая касательная к графику этой функции образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс.

Ответ: Поскольку производная функции $f'(x) = \frac{4}{(1-x)^2}$ положительна для всех $x$ из области определения функции ($x \neq 1$), любая касательная к графику данной функции образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс, что и требовалось доказать.